Tengo la siguiente ecuación:
$ A = \frac {\left \lfloor (n + 1) ^ {P} \right \rfloor}{\left \lfloor n ^ \right \rfloor {P}} $$
¿Cómo resolver $P$ con $A$ y $n$, donde $n \in \Bbb N \setminus \{ 0 \}$ y $A, P \in \Bbb R$?
Respuestas
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Marconius
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A partir de la definición de la función del suelo
$x-1 < \lfloor{x}\rfloor \le x \tag{1}$
Por lo tanto, si nos vamos a
$f(P)=\frac{\left \lfloor (n+1)^{P} \right \rfloor}{\left \lfloor n^{P} \right \rfloor}$
entonces, podemos aplicar la desigualdad (1) para el numerador y el denominador para obtener
$\frac{(n+1)^P-1}{n^P} < f(P) < \frac{(n+1)^P}{n^P-1} \tag{2}$
o $g(P) < f(P) < h(P)$ $g(P)=\frac{(n+1)^P-1}{n^P}$ $h(P)=\frac{(n+1)^P}{n^P-1}$
Desde $g(P)$ es una función creciente (por $n\ge1$), resolver $g(P)=A$ para obtener una solución única $P_g$. Del mismo modo solucionar $h(P)=A$ para obtener una solución única $P_h$. Entonces la ecuación original no puede haber soluciones de $P \ge P_g$ como entonces tendríamos $f(P) > g(P) \ge g(P_g) = A$. Ni puede tener soluciones con $P \le P_h$ entonces $f(P) < h(P) \le h(P_h) = A$.
De modo que las posibles soluciones se encuentran en el intervalo de $(P_h , P_g)$ - se puede demostrar que $P_h < P_g$.
No todas estas serán las soluciones, porque el valor de cada piso término en $f(P)$, por el aumento de P, cambiar cada vez que se alcanza un valor entero, por lo que el valor de $f(P)$ va a cambiar cada vez que el $(n+1)^P$ o $n^P$ se convierte en integral. Obtendrá un resultado positivo de discontinuidad si $(n+1)^P$ es un número entero, sino $n^P$ no y un negativo discontinuidad dondequiera $n^P$ es un número entero.
Shlomi Hassid
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76
% Primer $n \geq 1$, porque de lo contrario el denominador puede ser $0$ $0 \leq n < 1$.
Utilizando propiedades y reglas de funciones de techo y piso:
Dadas $n \in \mathbb{N}, n \geq 1$ y $A \in \mathbb{R}$, si $P \in \mathbb{N}$ y $P = \lfloor \log _{\frac {n+1} n} A \rfloor$ y si $P \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$ y $P = \log _{\frac {n+1} n} A$.
