Cada matriz inversible puede ser escrito como la exponencial de una matriz de otros

Question

Estoy en busca de una prueba de esta afirmación: "cada matriz inversible puede ser escrito como el exponencial de otra matriz". No estoy familiarizado aún con logaritmos de matrices, me pregunto si existe una prueba, sin ellos. Voy a ser feliz con cualquier prueba de todos modos. Espero que alguien puede ayudar.

Answer 1

Supongo que usted está hablando acerca de la compleja $n\times n$ matrices. Esto no es cierto en general en el plazo real de las matrices cuadradas.

Una prueba simple que pasa funcional de cálculo. Si $A$ es invertible, usted puede encontrar una determinación de la compleja logaritmo en algunos $\mathbb{C}\setminus e^{i\theta_0}[0,+\infty)$ que contiene el espectro de $A$. Entonces por holomorphic funcional de cálculo, puede definir $B:=\log A$ y que satisface a $e^B=A$.

Notas:

1) No es una fórmula que dice $\det e^B=e^{\mbox{trace}\;B}$ (fáciles de la prueba por la forma normal de Jordan, o por la densidad de diagonalizable matrices). Por lo tanto el rango de la exponencial $M_n(\mathbb{C})$ es exactamente $GL_n(\mathbb{C})$, el grupo de invertir matrices.

2) Para diagonalizable matrices $A$, es muy fácil encontrar un registro. Tome $P$ invertible tal que $A=PDP^{-1}$$D=\mbox{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$. Si $A$ es invertible, entonces cada $\lambda_j$ es distinto de cero para que podamos encontrar la $\mu_j$ tal que $\lambda_j=e^{\mu_j}$. A continuación, la matriz de $B:=P\mbox{diag}\{\mu_1,\ldots,\mu_n\}P^{-1}$ satisface $e^B=A$.

3) Si $\|A-I_n\|<1$, podemos definir explícitamente un registro con el poder de la serie de $\log (1+z)$ mediante el establecimiento $\log A:=\log(I_n+(A-I_n))=\sum_{k\geq 1}(-1)^{k+1}(A-I_n)^k/k.$

4) Para una verdadera matriz $B$, la fórmula anterior muestra que el $\det e^B>0$. Así las matrices con un valor no positivo determinante no tiene un registro. El recíproco no es cierto en general. Una condición suficiente es que $A$ no tiene negativos autovalor. Para un necesario y condición suficiente, uno debe considerar la descomposición de Jordan de a $A$.

5) Y, precisamente, el Jordán, la descomposición de la $A$ es una manera concreta de obtener el registro. En efecto, para un bloque de $A=\lambda I+N=\lambda(I+\lambda^{-1}N)$ $\lambda\neq 0$ $N$ nilpotent, tome $\mu$ tal que $\lambda=e^\mu$ y establezca $B:=\mu+\log(I+\lambda^{-1}N)=\mu+\sum_{k\geq 1}(-1)^{k+1}\lambda^{-k}N^k$ y nota que esta serie ha hecho un número finito distinto de cero desde $N$ es nilpotent. Hacer esto en cada uno de los bloques, y de obtener su registro para el Jordan en la forma de $A$. Sólo queda volver a $A$ por similitud.

6) por último, aquí están dos ejemplos de utilización de la anterior: $$\log\left( \matriz{5&1&0\\0&5&1\\0&0&5}\right)=\left(\matriz{\log 5&1&-\frac{1}{2}\\ 0&\registro de 5&1\\0&0&\registro 5} \right)$$ y $$\log\left(\matriz{-1&0\\0&1} \right)=\left(\matriz{i\pi&0\\0&0} \right)$$ son dos opciones posibles para el registro de estas matrices.

Answer 2

Julien ha señalado, presumiblemente trabajamos sobre el complejo campo, como la afirmación no es verdadera más de $\mathbb{R}$ (por ejemplo, $e^x=-1$ no tiene solución real). Entonces aquí es una primaria de la prueba para la declaración. Deje $A=S\left(J_{k_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{k_m}(\lambda_m)\right)S^{-1}$ ser un Jordan descomposición de $A$, donde cada autovalor es distinto de cero. A continuación, $\lambda_i=e^{z_i}$ algunos $z_i\in\mathbb{C}$. Ahora, considere el bloque de Jordan $Y_i=J_{k_i}(z_i)$. A continuación, $\exp(Y_i)$ es una triangular superior de la matriz que es siempre similar a $J_{k_i}(\lambda_i)$. Es decir, $J_{k_i}(\lambda_i)=P_i\exp(Y_i)P_i^{-1}$ para algunos es invertible la matriz de $P_i$. Ahora defina $X_i=P_iY_iP_i^{-1}$. A continuación,$A=\exp\left(S(X_1\oplus\ldots\oplus X_m)S^{-1}\right)$.

Answer 3

ver este libro en la red, puede ser útil Miroslav Fiedler, Matrices especiales y sus aplicaciones en la matemática numérica, Springer (1986)