Datos sobre los grupos abelianos y el orden de los grupos.

Question

Busco algunos teoremas que nos hablen de la relación entre la propiedad de ser abeliano para los grupos y el orden del grupo.

Creo que estos teoremas se proporcionan en un segundo curso de teoría de grupos o en cursos más avanzados. En esta etapa, sin embargo, estoy interesado en conocer algunos de estos teoremas sin los detalles de las pruebas de estos teoremas.

¡Espero que puedas darme alguno de estos teoremas!

Gracias.

Answer 1

He aquí algunos datos. Supongamos que todos los grupos a continuación son finitos.

• Todos los grupos abelianos finitos tienen este aspecto: $\mathbb{Z}_{p_1^{e_1}}\oplus \mathbb{Z}_{p_2^{e_2}}\oplus \mathbb{Z}_{p_3^{e_3}}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{p_n^{e_n}}$ donde el $p_i$ no son necesariamente distintos.

• $\mathbb{Z}_{pq}\cong \mathbb{Z}_p\oplus\, \mathbb{Z}_q$ sólo si $p$ y $q$ son coprimos.

• Un grupo $G$ es cíclico si y sólo si tiene exactamente un subgrupo de orden $d$ para cada divisor $d$ de $|G|$ .

• El teorema de Lagrange establece que siempre que $H$ es un subgrupo de $G$ el orden de $H$ divide el orden de $G$ . La inversa no se cumple en general, pero sí para los grupos abelianos, es decir, para cada divisor $d$ de $|G|$ existe un subgrupo de orden $d$ en $G$ .

• Si $3/4$ os o más elementos de un grupo tienen orden $2$ el grupo es abeliano. En particular, si cada elemento de un grupo tiene orden $2$ ese grupo es abeliano. ( Nota la segunda se deduce obviamente de la primera, pero se demuestra mucho más fácilmente por sí misma).

• El subgrupo derivado y el grupo de automorfismo interno de un grupo abeliano tienen orden $1$ .

• De todos los grupos de orden $p^e$ grupos que se parecen a $\underbrace{\mathbb{Z}_p\oplus \mathbb{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_p}_{\text{e times}}$ tienen el mayor número de subgrupos. Los grupos que se parecen a $\mathbb{Z}_{p^e}$ son los que menos tienen. (Esto incluye los grupos no abelianos).

• El orden de los grupos de automorfismo del último punto son $\prod_{k=0}^{e-1}p^e-p^k$ y $p^{e-1}(p-1)$ respectivamente. En general, el orden del grupo de automorfismo de $\mathbb{Z}_n$ es $\varphi(n)$ .

• Si un grupo es simple y soluble, es cíclico de orden primo.

Answer 2

Se pueden clasificar esos enteros $n$ para el que todo grupo de orden $n$ es abeliano, véase aquí la última respuesta de Robin Chapman. También ha aparecido aquí y allí en math.stackexchange.