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Question

Hace algunas semanas, nuestro profesor de matemáticas le hizo la siguiente pregunta y nos dio una semana para resolverlo:

Si $a^2-b^2=bc$ $b^2-c^2=ac ,$ Probar $a^2-c^2=ab$ Donde $a,b,c$ son no-cero de los números reales.

Esto parecía muy fácil al principio, pero cuando traté de demostrar que acabo de error cada vez. Después de una semana, sólo me ocurrió esta idea: Supongamos que nuestro caso es cierto. $a^2-c^2=ab\Rightarrow a^2-b^2+b^2-c^2=ab\Rightarrow bc+ac=ab\Rightarrow\frac{1}{abc}(bc+ac)=\frac{1}{abc}(ab) \Rightarrow$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Ahora bien, si hemos de Probar esto, nuestro caso se demostró así.
En mi opinión, esta parecía una buena pregunta, así que quería compartirlo con todos.

Answer 1

Para comenzar con, tenga en cuenta que sumando las dos ecuaciones dadas, podemos concluir inmediatamente $$a^2-c^2=(a+b)c.\tag{$\star$}$$

Ahora, multiplique ambos lados de $(\star)$ $a-b,$ darnos $$(a^2-c^2)(a-b)=(a^2-b^2)c\\a^3-a^2b-ac^2+bc^2=bc^2\\a^3-a^2b-ac^2=0\\a(a^2-ab-c^2)=0,$$ so since $a\ne 0, $ we can conclude that $ una ^ 2-ab-c ^ 2 = 0, $ so that $ una ^ 2 c ^ 2 = ab, $ como se desee.

Answer 2

Usted puede chug a través de este mediante la eliminación de la $a$ variable y siguientes de su nariz. $$b(b + c) = b^2 + bc = a^2 = {(b^2 - c^2)^2 \over c^2}$$ Podemos suponer que $b \neq -c$, ya que si $b = -c$ la primera ecuación implica $a = 0$, contradiciendo ese $a,b,c$ son todos distintos de cero. Así que podemos dividir por $b+c$ para obtener $$b = {(b^2 - c^2)(b-c) \over c^2}$$ Multiplicando por $c^2$ y la expansión de este se convierte en $$bc^2 = b^3 - c^2b - cb^2 + c^3 \tag 1$$ Usted desea mostrar a $a^2 - c^2 = ab$. La sustitución de su primera ecuación en $a^2$ y el segundo en $ab$ esto es equivalente a mostrar $$b^2 + bc - c^2= {b^2 - c^2 \over c}b$$ Multiplicando por $c$ esto es equivalente a $$b^2c + bc^2 - c^3= b^3 - c^2b \tag 2$$ Reordenando términos, $(2)$ es lo mismo que $(1)$.