Probabilidad de que al menos una de las balas sea eterna.

Question

Hay una pistola situada en una línea infinita, digamos en el 0 de la línea numérica. Comienza a disparar balas a lo largo de esa línea, +X axis a razón de una bala por segundo.

Cada bala tiene una velocidad en el rango [0, 1] m/s elegidos al azar de una distribución uniforme.
Si dos balas chocan (están en el mismo punto al mismo tiempo) explotan y desaparecen.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los infinito ¿las balas volarán infinitamente sin chocar con otra bala?

Answer 1

Dejemos que $X_n\stackrel{\mathrm{iid}}\sim U(0,1)$ . Para todos los enteros positivos $n$ y $j$ tenemos $$\mathbb P\left(\bigcap_{k=n+1}^{n+j}\{X_k\leqslant X_n\} \right) = 2^{-j}, $$ y $$\bigcap_{k=n+1}^{n+j}\{X_k\leqslant X_n\}\supset \bigcap_{k=n+1}^{n+1+j}\{X_k\leqslant X_n\}, $$ y por lo tanto \begin{align} \mathbb P\left(\bigcap_{k=n+1}^{\infty}\{X_k\leqslant X_n\} \right) &= \mathbb P\left(\bigcap_{k=n+1}^{\infty}\{X_k\leqslant X_n\} \right)\\ &= \lim_{j\to\infty}P\left(\bigcap_{k=n+1}^{n+j}\{X_k\leqslant X_n\} \right)\\ &= \lim_{j\to\infty}2^{-j}\\ &=0. \end{align} Por lo tanto, $$ \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n+1}^\infty\{X_k\leqslant X_n\} \right) \leqslant \sum_{n=1}^\infty \mathbb P\left(\bigcap_{k=n+1}^\infty\{X_k\leqslant X_n\} \right)=0, $$ para que $$\mathbb P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n+1}^\infty\{X_k> X_n\} \right) = 1 - \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n+1}^\infty\{X_k\leqslant X_n\} \right)=1. $$ Para cada viñeta $n$ , hay una bala $k>n$ viajar más rápido que una bala $n$ con probabilidad $1$ . Se deduce que la probabilidad de que al menos una bala vuele eternamente sin colisionar es cero.