Por qué desaparecer el valor absoluto cuando $e^{\ln|x|}$

Question

Me he dado cuenta que si tienes una ecuación (después de la integración) como $$\ln|y| = \ln|x| + c,$ $ y simplifican aún más usando la ley de exponentes, obtienes $$e^{\ln|y|} = e^{\ln|x|+с},$ $, que es lo mismo que $y = cx$.

Mi pregunta es por qué el valor absoluto desaparece de repente.

Edit: La pregunta original es:

Resolver la ecuación diferencial separable: $(1+x)dy - ydx = 0$.

Solución final: $y = c(1+x)$.

Answer 1

Usted está consiguiendo confundido porque estás usando $c$ para tres propósitos diferentes, pero pensando que son todos iguales.

La ecuación $$ e^{\ln |y|} = e^{\ln |x| + c}$$ ¿ no simplificar a $cx$ $c|x|$ en el lado derecho: se simplifica a $$ |y| = e^c |x| $$ Sin embargo, podríamos introducir una nueva constante $c_2 := e^c$, de modo que podemos escribir $$ |y| = c_2 |x| $$

Ahora, podemos usar las leyes de valores absolutos para romper esta ecuación:

$$ \begin{cases} y = c_2 x & x \geq 0, y \geq 0 \\ y = -c_2 x & x \leq 0, y \geq 0 \\ -y = c_2 x & x \geq 0, y \leq 0 \\ -y = -c_2 x & x \leq 0, y \leq 0 \end{casos} $$

Esto se simplifica a

$$ \begin{cases} y = c_2 x & x \geq 0, y \geq 0 \text{ or } x \leq 0, y \leq 0 \\ y = -c_2 x & x \leq 0, y \geq 0 \text{ or } x \geq 0, y \leq 0\end{casos} $$

Si queremos $y$ que se expresa como un continuo de la función de $x$, hay cuatro maneras de definir a $y = f(x)$, de modo que esto es cierto:

$$ f(x) = c_2 x $$ $$ f(x) = -c_2 x $$ $$ f(x) = c_2 |x| $$ $$ f(x) = -c_2 |x| $$

Si usted requiere de $f$ a ser diferenciable, entonces sólo los dos primeros son posibles.

Así que usted establezca $c_3 := c_2$ o $c_3 := -c_2$ según corresponda. A continuación, la solución se reduce a

$$ y = c_3 x $$

(tenga en cuenta que debido a que el conjunto de posibles valores de $c_1$ rangos de todos los números reales, el conjunto de posibles valores de $c_3$ rangos de todos distintos de cero los números reales)

Answer 2

Un ejemplo donde esto ocurre es la solución de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x}$ que va de esta

\begin{align*} \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x}\\ \int\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}dx &= \int\frac{1}{x}dx\\ \int\frac{1}{y}dy &= \ln|x|+c\\ \ln|y| &= \ln|x|+c\\ e^{\ln|y|} &= e^{\ln|x|+c}\\ |y| &= K|x| \end{align*}

donde $K = e^c > 0$. Nota, por un determinado $x_0$ en el dominio (que es un subconjunto de a $\mathbb{R}\setminus\{0\}$), tenemos $y = K|x_0|$ o $y = -K|x_0|$. Como estamos resolviendo la ecuación diferencial, $y$ es derivable y por lo tanto continua. Por lo tanto, si $y = -K|x_0|$ fijos $x_0$, debemos tener $y = -K|x|$ todos los $x$ en un barrio de $x_0$ (del mismo modo que si $y = K|x_0|$).

Supongamos ahora que el dominio está conectado - $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ no está conectado, pero de $(-\infty, 0)$$(0, \infty)$, son los componentes conectados de $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ (la más grande conectado subconjuntos de a $\mathbb{R}\setminus\{0\}$). A continuación, debemos tener $y = K|x|$ o $y = -K|x|$ en todo el dominio. Nota, podemos combinar estas dos familias de soluciones en una: $y = A|x|$ donde $A \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Sin embargo, el dominio está conectado si y sólo si es un subconjunto de a $(-\infty, 0)$ o $(0, \infty)$. Dependiendo de cuál de los dos conjuntos el dominio está contenida en, o tenemos $|x| = -x$ o $|x| = x$, por lo que la familia de soluciones puede ser escrito como $y = -Ax$ $A \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ o $y = Ax$$A \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$. De nuevo, podemos combinar estas dos familias de soluciones en una: $y = Bx$ donde $B \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Tenga en cuenta que esta familia le da todas las soluciones en cualquier conectados dominio. Si el dominio no está conectado, tenemos que considerar potencialmente diferentes soluciones en cada componente conectado. Por ejemplo,

$$ $ y = \begin{cases} x &\ \text{if}\ x > 0\\ -x &\ \text{if}\ x<0 \end{casos}$$

es una solución de la ecuación diferencial, pero no de la forma $y = Bx$ para algunas constante universal de $B$; sin embargo, es de la forma $y = B(x)x$ para algunas localmente constante de la función $B$.

Answer 3

Esto es incorrecto porque $e^{\ln|x| + c} = e^c|x|$. Pero si tu pregunta indica que $x \geq 0$, entonces el $e^{\ln|x| + c} = e^cx = Cx$, donde $C = e^c$. También tenga en cuenta que $e^\xi> 0$ % real todo $\xi$, que $e^{\ln|x| + c} > 0$.