Si $V$ es finito dimensional, entonces usted puede utilizar i) o ii) de la definición positiva de la certeza, aunque me parece) es más fuerte. Para ver esto, se aplican ii) a la unidad de la bola en $V$, que es compacto, por lo tanto, no es $\delta>0$ tal que \begin{equation}
<Ax,x>\ge\delta
\end{equation} para todas las $x$ en la unidad de pelota, luego la linealidad conduce a la i). Por lo tanto, las dos definiciones son equivalentes para un finito dimensional de los casos.
Pero me es más fuerte que ii) en espacios de infinitas dimensiones.
Según mi limitado conocimiento, la utilidad positiva de la definición radica en el hecho de que la forma bilineal\begin{equation}
(x,y)\mapsto <Ax,y>
\end{equation} es acotado, desde abajo, de manera uniforme, como en i). (Por supuesto, está delimitada desde arriba si asumimos $A$ es un delimitada operador lineal.)
Este acotamiento de dar muy buenos resultados, a ver por el teorema de Lax-Milman, lo cual no es cierto si usted sólo suponga ii), que permite el mal de la existencia como \begin{equation}
<Ax_n,x_n>\to 0.
\end{equation}
Un ejemplo que ilustra proviene de la existencia de soluciones débiles de segundo orden ecuaciones en derivadas parciales elípticas, que son de la forma \begin{equation}
Lu=-\sum_{i,j}\partial_j (a_{i,j}\partial_i u)+\sum_i \partial_i(b u)+cu,
\end{equation} donde los coeficientes $a_{i,j}$, $b$ y $c$ son suaves funciones.
Aquí tenemos la noción de ellipticity, que dice $(a_{i,j}(x))$ (que es un número finito de dimensiones de la matriz en cada una de las $x$) es positiva definida y uniforme ellipticity, que dice que no es $M>0$ tal que $<a_{i,j}(x)y,y>\ge M|y|^2$ todos los $x$. La última noción garantiza la existencia de soluciones débiles. ASÍ que de nuevo ve delimitada de la siguiente manera uniforme es importante. (Aquí uniforme en $x$).
