Raíces de la unidad en $\mathbb{Q} _{11}$

Question

Aquí $\mathbb{Q} _{11}$ denota el campo de los 11 ádicos.

¿Cómo puedo demostrar que la única raíz de la unidad de orden 7 en este campo es 1? ¿Es cierto que para dos primos distintos $p,q$ , la única raíz de la unidad de orden $q$ en $\mathbb{Q} _{p}$ es 1? (O más generalmente - ¿Existe alguna condición simple sobre $n\in \mathbb{N}$ , $p$ primo, de modo que hay raíces de la unidad no triviales de orden $n$ en $\mathbb{Q} _{p}$ ?)

Gracias.

Answer 1

Esta es la proposición 15 del capítulo 3 de mis notas de clase en un curso en los campos locales.

Dejemos que $K$ sea un campo henseliano [es decir, tal que se aplique el lema de Hensel: por ejemplo, completo] discretamente valorado de la característica residuo $p \geq 0$ . Sea $\mu'(K)$ denotan el grupo de todas las raíces de la unidad cuando $p = 0$ y el grupo de raíces de la unidad de orden primo a $p$ cuando $p > 0$ . Entonces la reducción modulo el ideal máximo induce un isomorfismo de $\mu'(K)$ en $\mu(k)$ el grupo de raíces de la unidad del campo de residuos.

[El uso de "henseliano" en el enunciado en lugar del más tradicional "completo" es en parte para recordar al lector que debe utilizar el lema de Hensel en la demostración. De hecho, esta es una de las primeras aplicaciones más estándar y sencillas de HL].

Esto se aplica en particular para demostrar que el grupo de raíces de la unidad en $\mathbb{Q}_{11}$ de orden primo a $11$ es cíclico de orden $10$ y, por lo tanto, no hay raíces de unidad de orden $7$ .

Más adelante en esa sección de mis notas muestro que $\mathbb{Q}_p$ no tiene ninguna $p$ -raíces potentes de la unidad, y por tanto que su grupo completo de raíces de la unidad es cíclico de orden $p-1$ se utiliza el criterio de (Schönemann-)Eisenstein para ver que el polinomio ciclotómico $\Phi_p$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}_p$ .

[Todo esto se encontrará en otras fuentes que tratan la aritmética de los campos locales, por supuesto].

Answer 2

Ejercicio 1 (trivial): una raíz de la unidad está en el anillo de enteros del campo.

Ejercicio 2 (un poco menos trivial, utilice la desigualdad del triángulo fuerte): el mapa del anillo de enteros al campo de residuos $k$ dada por la reducción modulo del ideal máximo es inyectiva en las raíces de la unidad de orden coprimo a char $k$ .

Ejercicio 3 (estándar): las raíces de la unidad en un campo finito de orden $q$ son precisamente los ( $q-1$ )-raíces de la unidad.

Ejercicio 4 : Si $p$ es impar, $\mathbb{Q}_p$ no tiene $p$ -Raíces de la unidad.

Corolario Las raíces de la unidad en $\mathbb{Q}_p$ , $p$ impar, son los $(p-1)$ -Raíces de la unidad.

En particular, la respuesta a su $p$ - $q$ pregunta es "no". Lo que tiene de especial el par 11 y 7 es que 7 es coprimo de 11-1=10.