Discutiendo la integralidad de $\exp(-x^n)$

Question

Soy consciente de que $$\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\ dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$ pero me preguntaba si había un caso general para otros exponentes. En particular: $$\int_{0}^{\infty}e^{-x^n} \ dx$$ donde $n$ es un número real mayor que $1$ (aunque no estoy seguro de que funcione ni siquiera para valores no enteros, así que pido disculpas por adelantado si ese es el caso).

En general, tengo dos preguntas sobre esta integral:

$1.$ ¿Cuál es la nueva "solución" en términos de $n$ ? ¿Puede expresarse en términos elementales (obviamente no es así para una integral indefinida, así que esto es asumiendo que usamos los límites previamente establecidos de $0$ y $\infty$ ).

$2.$ Parece que como $n$ se acerca a $\infty$ el valor de la integral indefinida se aproxima $1$ . Es decir:

$$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty}e^{-x^n} \ dx = 1$$ (Por favor, corríjanme si me equivoco). Si esto es así, y la integral también es igual a $1$ para el caso $n = 1$ , por qué valor $n$ la integral tiene un valor mínimo (de nuevo, $1<n<\infty$ )?

¡Gracias por su amabilidad!

Answer 1

La solución para $n>0$ es la siguiente: Sea $x=u^{1/n}.$ Entonces $dx=\frac{1}{n}u^{1/n-1}\,du,$ así que $$\int_0^\infty e^{-x^n}\,dx=\frac{1}{n}\int_0^\infty u^{1/n-1}e^{-u}\,du=\frac{1}{n}\Gamma(1/n)=\Gamma(1+1/n).$$ (Véase el Función gamma ). Claramente como $n\to\infty$ la integral pasa a $\Gamma(1)=1$ .

El mínimo de esta función es difícil de precisar (debido a la dificultad de diferenciar la función gamma), pero una solución numérica revela que el mínimo se produce en $n\approx 2.16623$ cuando la integral es igual a $0.8856$ .