Probar que existe una única función continua, para satisfacer esta ecuación integral

Question

Esta es una pregunta de un viejo análisis real qual:

Probar que existe una única función continua $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ tal que $$f(x) = \cos x + \int_0^x f(y)e^{-y}dy$$ para $x \in [0,1]$

No he visto ningún tipo de problemas como esto antes y no estoy muy seguro de por dónde empezar.

Answer 1

Definir un operador acotado en $C[0,1]$ (el espacio de Banach de funciones continuas en $[0,1]$ con supremum norma $\|\cdot\|_\infty$)$Tf(x) = \cos(x) + \int_0^x f(y)e^{-y}dy$.

Observar que $\| Tf - Tg\|_\infty \leq \|f-g\|_\infty \int_0^1e^{-y}dy = (1-\frac{1}{e})\|f-g\|_\infty$, por lo que el $T$ es una contracción. Por la Asignación de Contracción Teorema, existe un único punto fijo de $T$.

Answer 2

La diferenciación y reordenando, obtenemos $$ f(x)e^{-x}-f'(x)=\sin(x) $$ Con un factor de integración de $g(x)=e^{e^{-x}}$ donde $g'(x)=-g(x)e^{-x}$ tenemos $$ (f(x)g(x))'=-\sin(x)g(x) $$ Luego, simplemente integrar y dividir por $g(x)$ para obtener $$ f(x)=\frac{e}{g(x)}-\frac1{g(x)}\int_0^x\sin(t)g(t)\,\mathrm{d}t $$ La constante de integración fue elegido de manera que $f(0)=1$.