Dado k real de n x n de las matrices con un autovector, hay algunos que no son triviales ecuación polinómica las entradas de las matrices de satisfacer?

Question

El siguiente problema se ha planteado en mi investigación y no tengo las herramientas (es decir, no sé Geometría Algebraica, especialmente a lo largo de $\mathbb{R}$) para resolverlo.

Considere dos subconjuntos $X$$Y$$M_n(\mathbb{R})^k$$k\geq 3$. El subconjunto $X$ se compone de todos los $k$ tuplas de n x n matrices de $(A_1,..., A_k)$ tal que para cualquier par de $A_i$$A_j$, existe un vector $v_{ij}$ que es al mismo tiempo un autovector de a $A_i$ $A_j$ (pero tal vez con diferentes valores propios).

El subconjunto $Y$ se compone de todos aquellos elementos de a $X$ tal que $v_{ij}$ puede ser elegido de forma independiente de $i$ $j$ - es decir, si $(A_1,.., A_k)\in Y$ todos los $k$ matrices tienen en común un vector propio. (Por supuesto, cuando se $k=1$ o $k=2$, $X = Y$, por lo tanto la restricción anterior $k$).

Ahora, no he sido capaz de probar que $X$ es Zariski cerrado (aunque no he probado eso duro - no es tan importante para mi), pero puedo demostrar que es contenida en una adecuada Zariski subconjunto cerrado de $M_n(\mathbb{R})^k$ (pensado como $\mathbb{R}^{kn^2}$): tenemos a $f_{12} = det(A_1A_2 - A_2A_1) = 0$ desde $A_1A_2 v_{12} = A_2A_1 v_{12}$. O, ya que estamos trabajador sobre $\mathbb{R}$, podemos poner todos los $f_{ij}$ en una gran ecuación polinómica $$\sum_{1\leq i < j\leq k} f_{ij}^2 = 0.$$

Lo que me gustaría saber es

Hay un Zariski cerrado subconjunto $F$$Y\subseteq F\subsetneq X$?

Dicho de otra manera,

Existe un polinomio que es a la vez satisfecho por todos los k-tuplas de matrices que comparten un común autovector pero para la que no hay elementos en $X$ que no resolverlo?

Por último, en caso de que ayuda, el caso que más me interesa es$n=3$$k = 5$, pero me imagino que la elección de $n$ no afecta a la respuesta en gran medida y $k=3$ probablemente contiene toda la información necesaria para abordar el mayor $k$ valores.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Consideremos el problema por $\mathbb{C}$ primera (porque es una pregunta acerca de la articulación del espectro y es más fácil de abordar en primer lugar a través de una algebraicamente cerrado de campo). A continuación, tanto en $X$ $Y$ son subconjuntos de a $\mathbb{A}^{k n^2} (\mathbb{C}) = MaxSpec(\mathbb{C}[x_{pqs}]_{p,q=1,\ldots,n,s=1,\ldots,k})$. Ahora un $k$-tupla de matrices, $(A_1,\ldots,A_k)$, tiene un conjunto autovector si y sólo si el largo de la matriz $(\lambda_1 I -A_1 \lambda_2 I - A_2 \ldots \lambda_k I - A_K)$ tiene rango inferior a $n$ para algunos la elección de $(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$. Ahora usted puede considerar el máximo de los menores de largo matriz como polinomios en $(n^2+1) k$ variables. Los ceros del ideal generado por los menores de edad máxima es un Zariski subconjunto cerrado de $\mathbb{A}^{k (n^2+1)} (\mathbb{C})=MaxSpec(\mathbb{C}[x_{pqs},\lambda_j])$. Llamamos a este ideal, generado por la máxima menores de edad $\mathfrak{I}$. A continuación, $\mathfrak{J} = \mathfrak{I} \cap \mathbb{C}[x_{pqs}]_{p,q=1,\ldots,n,s=1,\ldots,k}$ es el ideal de la $Y$. Por lo tanto, $Y$ es cerrado.

Encontrar el polinomio que se busca es una cuestión de la eliminación de usar de base de Groebner técnicas. Te aconsejo Macaulay2 para esto.