¿Por qué es de $i^3$ (el número complejo "$i$") igual a $-i$ en lugar de los $i$?

Question

$$i^3=iii=\sqrt{-1}\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)(-1)}=\sqrt{-1}=i $$

Por favor, eche un vistazo a la ecuación anterior. ¿Qué estoy haciendo mal para entender $i^3 = i$, $- i$?

Answer 1

Desde $i^2=-1$, por definición, $i^3=i^2\cdot i=-i$.

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ está garantizada sólo por real positivo de $a$ y $b$.

Answer 2

No podemos decir que $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ para negativo de $a$ y $b$. Si esto fuera cierto, entonces $1=\sqrt{1}=\sqrt{\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1}=i\cdot i=-1$. Ya que esto es falso, tenemos que decir que $\sqrt{a}\sqrt{b}\neq\sqrt{ab}$, en general, cuando ampliamos a aceptar los números negativos.

Answer 3

Estoy seguro de que todo el mundo ha respondido correctamente la pregunta. Pero he aquí mis 2 centavos:

Desde el Argand'plano de perspectiva, la multiplicación de un número complejo por $i$ es equivalente a la rotación alrededor de un círculo (con radio = módulo de un número complejo) hacia la izquierda 90 grados. Así que pregúntate donde se termina cuando usted toma $i$ y se multiplica con $i$ dos veces.

Answer 4

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ es la correcta, en el siguiente sentido: En un campo arbitrario (aquí es el campo de los números complejos) la raíz $\sqrt{a}$ es un elemento en algún campo de extensión tal que $\sqrt{a}^2=a$. No está unívocamente determinado, por si $b$ es una raíz, entonces también $-b$ es una raíz de (y estos sólo coinciden cuando $a=0$ o de la característica es de $2 dólares). Ahora, la afirmación correcta es:

• Si $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ son las raíces de $un$ resp. $b$, entonces $\sqrt{a}\sqrt{b}$ es una raíz de $ab$.

Si definimos $\sqrt{a}$ a ser el conjunto de todas las raíces de $a$, entonces $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$, incluso tiene pie de la letra. Por ejemplo, $\sqrt{-1}=\{\pm i\}$ y $\sqrt{(-1) (-1)} = \sqrt{-1} \sqrt{-1}$ tiene desde ambos lados de la igualdad de $\{\pm 1\}$.

Si $a \in \mathbb{R}^+$, por lo general se denota por $\sqrt{a}$ la única raíz de $un$ en $\mathbb{R}^+$, pero esta definición no funciona correctamente para los números complejos o de otros campos.

Answer 5

Cuando se escribe $i=\sqrt{-1}$ entonces esto es algo que a veces es útil y sensato, pero realmente tiene que ser hecho con cuidado. Todo lo que realmente dice es que $i^2=-1$, y, por supuesto, $(- i)^2=-1$ tiene así. Así correctamente el cálculo de los rendimientos de $$i^3)^2=i^2\cdot i^2\cdot i^2=(-1)(-1)(-1)=-1=i^2,$$ lo cual es cierto.