Más débil/Fuerte Topologías y Compacto/Espacios de Hausdorff

Question

En mi topología de notas de la conferencia, he escrito:

"Considerando el mapa de identidad entre los distintos espacios con el mismo conjunto subyacente, se deduce que para un compacto Hausdorff espacio:

$\bullet$ más débil de cualquier topología es compacto, pero no Hausdorff

$\bullet$ más fuerte que cualquier topología es Hausdorff, pero no compacto "

Sin embargo, yo estoy luchando para ver por qué esto es. ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Más débil implica compacto y fuerte implica Hausdorff es un hecho general (una cubierta abierta en el más débil es una cubierta abierta en el original también, escoger hay un número finito de subcover y la conclusión. Si se puede separar en dos puntos en la topología original puedes hacerlo en la más completa porque se puede utilizar la misma abierto conjuntos).A continuación, supongamos $ (X, \tau)$ es el espacio topológico a partir de la cual empezar, si $\sigma$ es una más débil de la topología en $X$ $(X,\sigma)$ es compacto Hausdorff, entonces: $Id: (X,\tau) \rightarrow (X,\sigma)$ es una continua bijection entre compacto de Hausdorff espacios, por lo que una homeomorphism. Como es la identidad llegamos $\sigma=\tau$; lo mismo para el otro caso.

Answer 2

Sugerencia. $X$ ser un conjunto, una topología $\tau$ es más débil que una topología $\sigma$ $X$ si y sólo si la aplicación $$ (X, \sigma) \to (X,\tau), x \mapsto x $$ es continua.