Producto de doble punto vs. producto interno doble

Question

Cualquier cosa que involucre tensores tiene 47 nombres y anotaciones diferentes, y estoy teniendo problemas para obtener alguna consistencia de ello.

Este documento ( http://www.polymerprocessing.com/notes/root92a.pdf ) se atribuye claramente al símbolo del colon (como "producto de doble punto"):

$ \mathbf {T}: \mathbf {U}=T_{ij} U_{ji}$

mientras que este documento ( http://www.foamcfd.org/Nabla/guides/ProgrammersGuidese3.html ) se atribuye claramente al símbolo del colon (como "producto interno doble"):

$ \mathbf {T}: \mathbf {U}=T_{ij} U_{ij}$

El mismo símbolo, dos definiciones diferentes. Para empeorar las cosas, mi libro de texto lo ha hecho:

$ \mathbf { \epsilon }: \mathbf {T}$

donde $ \epsilon $ es el símbolo de Levi-Civita $ \epsilon_ {ijk}$ así que quién sabe qué se supone que representa esa expresión.

Perdón por el despotrique, pero es tarde, y estoy tratando de estudiar para un examen que aparentemente está lleno de contradicciones. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Disculpe la tardanza en la respuesta. Espero que le haya ido bien en su examen. Espero que esta respuesta ayude a otros.

El "doble producto interior" y el "doble producto de puntos" se refieren a lo mismo: una doble contracción sobre los dos últimos índices del primer tensor y los dos primeros índices del segundo tensor. Un producto doble por puntos entre dos tensores de orden m y n dará como resultado un tensor de orden (m+n-4).

Así, en el caso del llamado tensor de permutación (señalado con épsilon) doblemente punteado con algún tensor de 2º orden T, el resultado es un vector (porque 3+2-4=1).

Tienes razón en que, por desgracia, no existe una notación universalmente aceptada para las expresiones basadas en el tensor, por lo que algunas personas definen sus propios productos internos (es decir, "punto") y externos (es decir, "tensor"). Pero esta definición del producto doble por puntos que he descrito es la más aceptada para esta operación.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Sé que esto podría no servir a su pregunta ya que es muy tarde, pero yo mismo estoy luchando con esto como parte de un curso de postgrado de mecánica del continuo. La forma en que quiero pensar en esto es compararlo con un "producto de punto simple". Por ejemplo: \begin{align} \textbf{A} \cdot \textbf{B} &= A_{ij}B_{kl} (e_i \otimes e_j) \cdot (e_k \otimes e_l)\\ &= A_{ij} B_{kl} (e_j \cdot e_k) (e_j \otimes e_l) \\ &= A_{ij} B_{kl} \delta_{jk} (e_j \otimes e_l) \\ &= A_{ij} B_{jl} (e_j \otimes e_l) \end{align} Donde el producto punto se da entre los vectores base más cercanos al operador del producto punto, es decir $e_j \cdot e_k$ . Así que ahora $\mathbf{A} : \mathbf{B}$ sería la siguiente: \begin{align} \textbf{A} : \textbf{B} &= A_{ij}B_{kl} (e_i \otimes e_j):(e_k \otimes e_l)\\ &= A_{ij} B_{kl} (e_j \cdot e_k) (e_i \cdot e_l) \\ &= A_{ij} B_{kl} \delta_{jk} \delta_{il} \\ &= A_{ij} B_{jl} \delta_{il}\\ &= A_{ij} B_{ji} \end{align} Pero he encontrado que algunos libros de texto dan el siguiente resultado: $$ \textbf{A}:\textbf{B} = A_{ij}B_{ij}$$ Pero en base a la operación realizada anteriormente, esto es en realidad el resultado de $$\textbf{A}:\textbf{B}^t$$ porque \begin{align} \textbf{A} : \textbf{B}^t &= A_{ij}B_{kl} (e_i \otimes e_j):(e_l \otimes e_k)\\ &= A_{ij} B_{kl} (e_j \cdot e_l) (e_j \cdot e_k) \\ &= A_{ij} B_{kl} \delta_{jl} \delta_{ik} \\ &= A_{ij} B_{il} \delta_{jl}\\ &= A_{ij} B_{ij} \end{align} ¡Pero por fin he descubierto por qué no es así!

La definición de contracción tensorial no es la forma en que se realizó la operación anterior, sino que es la siguiente: \begin{align} \textbf{A} : \textbf{B}^t &= \textbf{tr}(\textbf{AB}^t)\\ &= \textbf{tr}(\textbf{BA}^t)\\ &= \textbf{tr}(\textbf{A}^t\textbf{B})\\ &= \textbf{tr}(\textbf{B}^t\textbf{A}) = \textbf{A} : \textbf{B}^t\\ \end{align} y si haces el ejercicio, lo encontrarás: $$\textbf{A}:\textbf{B} = A_{ij} B_{ij} $$

Answer 3

Sé que esto es viejo, pero es lo primero que sale cuando se busca el producto interior doble y creo que será una respuesta útil para otros.

La operación $\mathbf{A}*\mathbf{B} = \sum_{ij}A_{ij}B_{ji}$ no es un producto interno porque no es positivo definido. Llamarle producto de doble punto es un poco erróneo. Mientras tanto, para las matrices reales, $\mathbf{A}:\mathbf{B} = \sum_{ij}A_{ij}B_{ij}$ es el producto interno de Frobenius. Se pueden realizar mejor como, $$\mathbf{A}:\mathbf{B} = \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathsf{T}\right) $$ $$\mathbf{A}*\mathbf{B} = \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) $$ Esta definición del producto interior de Frobenius proviene de la del producto punto, ya que para los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ , $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \operatorname{tr}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}^\mathsf{T}\right)$$ A continuación, podemos incluso entender cómo extender esto a las matrices complejas de forma natural por la definición de vector. Dado que para los vectores complejos, necesitamos que el producto interior entre ellos sea definido positivo, tenemos que elegir, $$(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \mathbf{a}\cdot\overline{\mathbf{b}}^\mathsf{T} = a_i \overline{b}_i$$ como nuestro producto interno. Del mismo modo, para el producto interno de la matriz, tenemos que elegir, $$\mathbf{A}:\mathbf{B} = \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathsf{H}\right) = \sum_{ij}A_{ij}\overline{B}_{ij}$$ donde $\mathsf{H}$ es el operador de transposición conjugada.

En cuanto al símbolo de Levi-Cevita, la simetría del símbolo significa que no importa de qué manera se realice el producto interior.