Demostrar que $|Im(z)|\le |\cos (z)|$ para $z\in \mathbb{C}$.

Question

Sea $z\in \mathbb{C}$ es decir $z=x+iy$. Mostrar que $|Im(z)|\le |\cos (z)|.

Mi sugerencia de forma informal fue considerar $\cos (z)=\cos (x+iy)=\cos (x)\cosh (y)+i\sin (x)\sinh(y)$ y luego hacer "cosas".

Entonces tenemos $|\cos (z)|=|Re(z)+iIm(z)|$ y el resultado será obvio.

Gracias de antemano.

Sé que me falta algo trivial.

Answer 1

$$\cos(z) = \cos(x) \cosh(y) + i \sin(x) \sinh(y) $$

Tomando el módulo al cuadrado: $$ \cos^2(x) \cosh^2(y) + \sin^2(x) \sinh^2(y)$$

Nos queda:

$$ \cos^2(x) \left(\frac{1}{2}\cosh(2y) + \frac{1}{2}\right) + \sin^2(x) \left(\frac{1}{2}\cosh(2y) - \frac{1}{2}\right)$$ Simplificando, obtenemos: $$ \frac{1}{2} \left(\cosh(2y) + \cos(2x) \right)$$

Bien podríamos suponer que $\cos{2x} = -1$ Nuestro objetivo es demostrar que $|$Im$(z)|^2 $ es menor que esta cantidad.

Es decir,

$$ \begin{align} & & y^2 & \leq \frac{1}{2} \cosh{2y} - \frac{1}{2} \\ \iff & & y^2 &\leq (\sinh y)^2 \\ \iff & & y & \leq \sinh y \ \ \ \ \ \ \ \ \forall y\geq0\end{align}$$

Un cálculo rápido de la derivada muestra que $\frac{d}{dy} y = 1$ pero $\frac{d}{dy} \sinh y = \cosh{y}$. Si queremos ver que $\cosh y \geq 1$, podemos diferenciar nuevamente y ver que $\sinh y \geq 0$.