Un conjunto $A \subset \mathbb{N}$ se dice que syndetic si las brechas en $A$ son acotados.
Es el conjunto $\phi(\mathbb{N})$ syndetic? (donde $\phi$ denota de Euler totient función)
He pensado mucho acerca de este problema, pero no podía solucionarlo y no tener siquiera una idea clara de lo que la respuesta puede ser (principalmente porque es difícil extraer información acerca de los valores que la función de $\phi$ en números enteros consecutivos). Alguna ayuda? Gracias!
La respuesta es negativa. Suponiendo que $\phi(\mathbb{N})$ es un syndetic conjunto tenemos que el totient números (es decir, los números que son de la forma $\phi(n)$ algunos $n$) tiene un resultado positivo de baja densidad asintótica, pero Wikipedia es falso, lo que nos da que el número de totient números de hasta el $x$ es
$$ \frac{x}{\log x}\,\exp\left((C+o(1))\left(\log\log\log x\right)^2\right) $$ para algunas constantes $C = 0.8178146\ldots$.
Que asintótica es muy interesante, porque demuestra que el problema es más o menos equivalente a la trivial:
Es el conjunto de números primos un syndetic?
En tal caso, la respuesta es negativa, puesto que al considerar primorials y por la explotación de la PNT tenemos la existencia de $k$ consecutivos compuesto de números de menos de $\exp((1+o(1))k)$.
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