En ninguna parte densa de subconjuntos de a $[0,1]$ con medida positiva distinta de la grasa de los conjuntos de Cantor

Question

Esta es mi primera vez en el tablero, así que me perdone si he colocado incorrectamente. En cualquier caso, creo que mi título es auto-explicativo: los únicos ejemplos que he encontrado por ninguna parte densa de subconjuntos de a $[0,1]$ con medida positiva son la grasa de conjuntos de Cantor. Es cualquiera familiarizado con otro ejemplo?

Si es que existe, me gustaría encontrar una manera más o menos ortogonal ejemplo --- que es, yo no estoy tan interesado en los ejemplos que se construyen esencialmente de la misma manera como una grasa del conjunto de Cantor. Muchas gracias.

Mejor, T

Answer 1

En lugar de la eliminación de las cosas a partir de la línea real de forma recursiva como hacer para conjuntos de Cantor, podría eliminar a todos ellos a la vez:

Enumerar los números racionales (o cualquier otro contables densa) en [0,1] como $q_1, q_2, ...$, y deje $B_n$ ser un intervalo abierto de radio $\frac{1}{2^{n+1}}$ centrada en $q_n$. A continuación, $[0,1] - \bigcup B_n$ es un conjunto cerrado (ya que es el complemento de la unión de bloques abiertos), y ha vacío interior (ya que no contiene números racionales), por lo que es denso en ninguna parte. Pero claramente tiene medida positiva ya que sólo se elimina un conjunto abierto con la medida en la mayoría de las $\frac{1}{2}$.

Esto es similar a la Grasa conjunto de Cantor en que es un "start-con-todo-y-toma-cosas-lejos" de la estrategia, sino la forma de quitar esas cosas es decididamente diferente.

Answer 2

Dado cualquier $\epsilon > 0$ y dado ninguna ninguna parte denso conjunto de $N$ de medida positiva, existe un conjunto de Cantor $C$ (conjunto de Cantor que aquí significa un perfecto nada denso conjunto) tal que $C \subseteq N$ y la medida de $N - C$ es de menos de $\epsilon.$ Esto es, esencialmente, un resultado que, en el análisis real de los textos, a menudo se llama Lusin del teorema. Es generalmente establecido con $C$ ser un conjunto cerrado, pero el Cantor-Bendixson teorema dice que usted puede convertir cualquier conjunto cerrado en un conjunto perfecto eliminando en la mayoría de los countably muchos puntos seleccionados del conjunto cerrado, y este es un proceso que no afecta a la medida de Lebesgue. Así, una vez que usted consiga la nada denso conjunto cerrado que el de costumbre Lusin del teorema (que va a ser denso en ninguna parte, porque es un subconjunto de a $N,$ y estamos asumiendo $N$ es denso en ninguna parte), se puede tirar en la mayoría de los countably muchos puntos y obtener un conjunto de Cantor que tenga la misma medida.

Por lo tanto, cualquier nada denso conjunto de medida positiva es, a excepción de una izquierda sobre la parte que tiene arbitrariamente pequeña medida, un conjunto de Cantor de medida positiva. Otra forma de ver esto es que usted puede conseguir en ninguna parte densos conjuntos de medida positiva por arbitrariamente pequeño (en el sentido de la medida de Lebesgue) enlargments de conjuntos de Cantor de medida positiva.