Preámbulo
Creo que el OP es la búsqueda de una caracterización de $ \mathbb{Q} $ utilizando sólo los de primer orden lenguaje de campos, $ \mathcal{L}_{\text{Campo}} $. Limitarnos a este lenguaje, podemos intentar descubrir nuevos axiomas, además de la habitual de campo axiomas (es decir, aquellos que se refieren a la asociatividad y conmutatividad de la suma y la multiplicación, la distributividad de la multiplicación sobre la adición, el comportamiento de los cero y los elementos de identidad, y la existencia de un inverso multiplicativo de cada elemento no nulo), que describen $ \mathbb{Q} $ de forma única.
Cualquier intento de describir el más pequeño campo de la satisfacción de una determinada propiedad debe prescribir un método de comparación de un campo con otro (a saber, el uso de campo homomorphisms, que son inyectiva si no trivial), sino como un método claramente no puede ser formalizado en el uso de $ \mathcal{L}_{\text{Campo}} $.
1. No Existe de Primer Orden Caracterización de $ \mathbb{Q} $
La respuesta es 'no', si uno está buscando un primer orden de la caracterización de $ \mathbb{Q} $. Esto se desprende de la Alza de Löwenheim-Skolem Teorema, que es un clásico de la herramienta en la lógica y el modelo de la teoría.
Observar que $ \mathbb{Q} $ es un infinito de $ \mathcal{L}_{\text{Campo}} $-estructura de cardinalidad $ \aleph_{0} $. El Alza de Löwenheim-Skolem Teorema dice entonces que existe un $ \mathcal{L}_{\text{Campo}} $-estructura (es decir, un campo) $ \mathbb{F} $ de cardinalidad $ \aleph_{1} $ que es un elemental de extensión de $ \mathbb{Q} $. Por definición, esto significa que $ \mathbb{Q} $ y $ \mathbb{F} $ satisfacer el mismo conjunto de $ \mathcal{L}_{\text{Campo}} $-frases, así que no podemos usar la lógica de primer orden para distinguir de $ \mathbb{Q} $ y $ \mathbb{F} $. En otras palabras, en la medida de como la lógica de primer orden, podemos decir, que estos dos campos son idénticos (una analogía puede ser encontrado en el punto de conjunto de la topología, donde dos puntos distintos de un no-$ T_{0} $ topológica del espacio puede ser topológicamente indistinguibles). Sin embargo, $ \mathbb{Q} $ y $ \mathbb{F} $ tiene diferentes cardinalidades, así que no son isomorfos. Este fenómeno se explica por el hecho de que la noción de cardinalidad puede formalizarse mediante $ \mathcal{L}_{\text{Campo}} $. Por lo tanto, cualquier diferencia entre los dos campos sólo puede ser visto desde afuera, fuera de la lógica de primer orden.
2. Encontrar un Segundo Orden de la Caracterización de $ \mathbb{Q} $
Esta pieza está inspirada en lhf la respuesta de abajo, que creo que merece más crédito. Empezamos por la formalización de la noción de adecuada subcampo uso de segundo orden de la lógica.
Deje que $ P $ ser una variable de predicados unarios. Considerar los siguientes seis fórmulas:
\begin{align}
\Phi^{P}_{1} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\exists x) \neg P(x); \\
\Phi^{P}_{2} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} P(0); \\
\Phi^{P}_{3} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} P(1); \\
\Phi^{P}_{4} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\forall x)(\forall y)((P(x) \de la tierra P(y)) \rightarrow P(x + y)); \\
\Phi^{P}_{5} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\forall x)(\forall y)((P(x) \de la tierra P(y)) \rightarrow P(x \cdot y)); \\
\Phi^{P}_{6} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\forall x)((P(x) \de la tierra \neg (x = 0)) \rightarrow (\existe y)(P(y) \de la tierra (x \cdot y = 1))).
\end{align}
Lo que $ \Phi^{P}_{1},\ldots,\Phi^{P}_{6} $ está diciendo es que el conjunto de todos los elementos del dominio de discurso que satisfacen el predicado $ P $ formularios de una adecuada subcampo del dominio. El dominio de sí mismo será un campo si se le impone la primera orden de campo axiomas. Por lo tanto,
$$
\{ \text{de Primer orden de campo axiomas} \} \cup \{ \text{Primer orden axiomas característica definitoria $ 0 $} \} \cup \{ \neg (\existe P)(\Phi^{P}_{1} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{2} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{3} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{4} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{5} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{6}) \}
$$
es un conjunto de primer y segundo orden axiomas que caracteriza a $ \mathbb{Q} $ de forma exclusiva por las siguientes dos razones:
Hasta el isomorfismo, $ \mathbb{Q} $ es el único campo con el carácter $ 0 $ que no contiene adecuada de subcampo.
Si $ \mathbb{F} \ncong \mathbb{Q} $ es un campo con el carácter $ 0 $, entonces $ \mathbb{F} $ no de modelo de este conjunto de axiomas. De lo contrario, la interpretación de "$ P(x) $ "" $ x \in \mathbb{Q}_{\mathbb{F}} $", produce una contradicción, donde $ \mathbb{Q}_{\mathbb{F}} $ es la copia de $ \mathbb{Q} $ sentado dentro de $ \mathbb{F} $.
