Caracterización axiomática de los números racionales

Question

Tenemos el conocido axiomas de Peano para los números naturales y los números reales puede ser caracterizado por exigir a ser un Dedekind-completa, totalmente ordenado de campo (o alguna variación de este).

Pero nunca vi ninguna caracterización axiomática de los números racionales! Ya sea que se construye a partir de los números naturales o se encuentran como un subconjunto de los reales.

Sé que los números racionales son únicos en el sentido de que son los más pequeños totalmente ordenado de campo. Pero es algo insatisfactorio para mí para definir a ser totalmente ordenado de campo que tiene una orden de preservación de la integración en cualquier otro totalmente ordenado de campo. Esto sería como la definición de los números reales para ser una de Arquímedes totalmente ordenado de campo, tales que cada una de las otras Arquímedes totalmente ordenado de campo puede ser de orden preservingly integrado en él - esto es algo feo definición (para mí) y me encuentro con la habitual mucho mejor.

Entonces, ¿qué es un buen caracterización axiomática de los números racionales?

Answer 1

Preámbulo

Creo que el OP es la búsqueda de una caracterización de $\mathbb{Q}$ utilizando sólo los de primer orden lenguaje de campos, $\mathcal{L}_{\text{Campo}}$. Limitarnos a este lenguaje, podemos intentar descubrir nuevos axiomas, además de la habitual de campo axiomas (es decir, aquellos que se refieren a la asociatividad y conmutatividad de la suma y la multiplicación, la distributividad de la multiplicación sobre la adición, el comportamiento de los cero y los elementos de identidad, y la existencia de un inverso multiplicativo de cada elemento no nulo), que describen $\mathbb{Q}$ de forma única.

Cualquier intento de describir el más pequeño campo de la satisfacción de una determinada propiedad debe prescribir un método de comparación de un campo con otro (a saber, el uso de campo homomorphisms, que son inyectiva si no trivial), sino como un método claramente no puede ser formalizado en el uso de $\mathcal{L}_{\text{Campo}}$.

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1. No Existe de Primer Orden Caracterización de $\mathbb{Q}$

La respuesta es 'no', si uno está buscando un primer orden de la caracterización de $\mathbb{Q}$. Esto se desprende de la Alza de Löwenheim-Skolem Teorema, que es un clásico de la herramienta en la lógica y el modelo de la teoría.

Observar que $\mathbb{Q}$ es un infinito de $\mathcal{L}_{\text{Campo}}$-estructura de cardinalidad $\aleph_{0}$. El Alza de Löwenheim-Skolem Teorema dice entonces que existe un $\mathcal{L}_{\text{Campo}}$-estructura (es decir, un campo) $\mathbb{F}$ de cardinalidad $\aleph_{1}$ que es un elemental de extensión de $\mathbb{Q}$. Por definición, esto significa que $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}$ satisfacer el mismo conjunto de $\mathcal{L}_{\text{Campo}}$-frases, así que no podemos usar la lógica de primer orden para distinguir de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}$. En otras palabras, en la medida de como la lógica de primer orden, podemos decir, que estos dos campos son idénticos (una analogía puede ser encontrado en el punto de conjunto de la topología, donde dos puntos distintos de un no-$T_{0}$ topológica del espacio puede ser topológicamente indistinguibles). Sin embargo, $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}$ tiene diferentes cardinalidades, así que no son isomorfos. Este fenómeno se explica por el hecho de que la noción de cardinalidad puede formalizarse mediante $\mathcal{L}_{\text{Campo}}$. Por lo tanto, cualquier diferencia entre los dos campos sólo puede ser visto desde afuera, fuera de la lógica de primer orden.

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2. Encontrar un Segundo Orden de la Caracterización de $\mathbb{Q}$

Esta pieza está inspirada en lhf la respuesta de abajo, que creo que merece más crédito. Empezamos por la formalización de la noción de adecuada subcampo uso de segundo orden de la lógica.

Deje que $P$ ser una variable de predicados unarios. Considerar los siguientes seis fórmulas: $$\begin{align} \Phi^{P}_{1} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\exists x) \neg P(x); \\ \Phi^{P}_{2} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} P(0); \\ \Phi^{P}_{3} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} P(1); \\ \Phi^{P}_{4} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\forall x)(\forall y)((P(x) \de la tierra P(y)) \rightarrow P(x + y)); \\ \Phi^{P}_{5} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\forall x)(\forall y)((P(x) \de la tierra P(y)) \rightarrow P(x \cdot y)); \\ \Phi^{P}_{6} &\stackrel{\text{def}}{\equiv} (\forall x)((P(x) \de la tierra \neg (x = 0)) \rightarrow (\existe y)(P(y) \de la tierra (x \cdot y = 1))). \end{align}$$ Lo que $\Phi^{P}_{1},\ldots,\Phi^{P}_{6}$ está diciendo es que el conjunto de todos los elementos del dominio de discurso que satisfacen el predicado $P$ formularios de una adecuada subcampo del dominio. El dominio de sí mismo será un campo si se le impone la primera orden de campo axiomas. Por lo tanto, $$\{ \text{de Primer orden de campo axiomas} \} \cup \{ \text{Primer orden axiomas característica definitoria $ 0 $} \} \cup \{ \neg (\existe P)(\Phi^{P}_{1} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{2} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{3} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{4} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{5} ~ \de la tierra ~ \Phi^{P}_{6}) \}$$ es un conjunto de primer y segundo orden axiomas que caracteriza a $\mathbb{Q}$ de forma exclusiva por las siguientes dos razones:

1. Hasta el isomorfismo, $\mathbb{Q}$ es el único campo con el carácter $0$ que no contiene adecuada de subcampo.

2. Si $\mathbb{F} \ncong \mathbb{Q}$ es un campo con el carácter $0$, entonces $\mathbb{F}$ no de modelo de este conjunto de axiomas. De lo contrario, la interpretación de "$P(x)$ "" $x \in \mathbb{Q}_{\mathbb{F}}$", produce una contradicción, donde $\mathbb{Q}_{\mathbb{F}}$ es la copia de $\mathbb{Q}$ sentado dentro de $\mathbb{F}$.

Answer 2

Entre todos los campos del racionales puede ser caracterizada de la siguiente manera. El campo de los números racionales es decir, hasta el isomorfismo, la más pequeña de campo de carácter $0$.

Como usted dice, los racionales puede ser construido a partir de los enteros a través de una construcción que es un caso especial de la construcción conocida como el campo de fracciones de un integrante del dominio. De esta manera los racionales puede ser caracterizado, entre todas integral de los dominios de los anillos, de la siguiente manera: El campo de los números racionales es decir, hasta el isomorfismo, el campo de fracciones de el anillo de los números enteros.

Si no estas caracterizaciones se ajuste a sus expectativas de ser agradable es una cuestión de gusto. En cualquier caso, la segunda caracterización es un caso especial de un fenómeno muy común de una característica universal.

Answer 3

Una simple caracterización axiomática de los números racionales es que es un orden de campo generadas por $1$. Esto implica que es el primer campo de la característica $0$.

La noción de ser generada por $1$ puede ser formulado como no hay subcampos.

Answer 4

No es recursivamente enumerable axiomatization de los números racionales en el primer orden de la lógica. En particular, no podemos escribir un conjunto finito de axiomas o axioma de esquemas que definir por completo la teoría de los números racionales.

Esto se deduce de la siguiente resultado de Julia Robinson [R].

Teorema (ver [R]). La noción de un entero y que de un entero positivo es aritméticamente definible en términos de la noción de lo racional y de las operaciones de adición y multiplicación de racionales.

En consecuencia, si la teoría de los números racionales había un recursivamente enumerable axiomatization, sería decidable, y por lo tanto la media aritmética sería decidable. Pero no lo es, de modo que la teoría de los números racionales no tiene un recursivamente enumerable axiomatization.

Por otro lado, podemos escribir una no-completa axiomatization de racionales como sigue. Podemos definir predicados "$x$ es un número entero" y "$x$ es un número entero positivo" el uso de Robinson teorema. A continuación, escribir

• $\mathbb P$ es un campo.

• Todos los elementos de $\mathbb P$ es un cociente de dos enteros.

• Enteros positivos satisfacer los axiomas de Peano.

[R] Julia Robinson. Definability y los Problemas de Decisión en la Aritmética. El Diario de la Lógica Simbólica, Vol. 14, Nº 2 (Jun., 1949), pp 98-114.

Answer 5

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number#Axiomatic_approach

• Vamos a R denota el conjunto de todos los números reales. Entonces:

• El conjunto R es un campo, lo que significa que la adición y la multiplicación son definidos y tener las propiedades habituales.

• El campo de R es ordenado, lo que significa que hay un orden total ≥ tal que, para todos los números reales x, y y z:

  • si x ≥ y entonces x + z ≥ y + z;

  • si x ≥ 0 y y ≥ 0 entonces xy ≥ 0.

• El orden es Dedekind-completo; es decir, todos los no-vacío subconjunto S de R con un límite superior en R tiene al menos un límite superior (también llamado supremum) en R.

La última propiedad es lo que diferencia a los reales a partir de los racionales. Por ejemplo, el conjunto de los racionales con plaza, a menos de 2 ha racional límite superior (por ejemplo, 1.5), pero no menos racional límite superior, porque la raíz cuadrada de 2 no es racional.

Entonces, ¿no simplemente quitando la última propiedad de trabajo?