Un conjunto $X\subset \mathbb{R}$ se llama bonita si, para cada $\epsilon > 0$, hay un entero positivo $k$ y algunos intervalos acotados $I_1,I_2,...,I_k$ tal que $X \subset I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_k$ $\sum\limits_{j=1}^k |I_j|^{\epsilon} < \epsilon$ .
Demostrar que existen conjuntos de $X,Y \subset [0,1]$, ambos agradable, de tal manera que $X+Y = [0,2]$ donde $X+Y:=\{x+y\mid x\in X,y\in Y\}.$Esta pregunta es de una iberoamericano de examen para estudiantes de pregrado (ciim 2010).
Un intento de resolver este problema se puede encontrar en la aops pero no parece ser completa o correcta. Cualquier ayuda es bienvenida.
Respuesta
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gabr
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El medio tercios Conjunto de Cantor no funciona, ya que en la etapa de $N$ hay $2^N$ intervalos de longitud de $\frac{1}{3^N}$. Así que para algunos $\epsilon$ la dimensión de Hausdorff de este conjunto de Cantor, la serie es más de $0$:
$$ \left(\frac{2}{3^{\epsilon }}\right)^N =1 \longrightarrow \epsilon = \frac{\log 2}{\log 3} $$
Es también el límite conjunto de las dos funciones de $T_1(x) = \frac{x}{3}$$T_2(x) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$.
Si queremos eliminar sucesivamente más pequeños porcentajes, podemos obtener conjuntos de Cantor positivo de la medida de Lebesgue. La Smith-Volterra-conjunto de Cantor es nada densa y tiene medida de Lebesgue $\frac{1}{2}$.
Estos desastres ocurren cuando intenta mostrar $\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$ para ciertos trigonométrica de la serie.
Teniendo en cuenta esto es como el examen Putnam, vamos a tratar de tomar "agresivo" conjuntos de Cantor. En lugar de quitar del medio a $\frac{1}{3}$ en cada etapa, vamos a quitar del medio a $1-\frac{1}{N}$. Ahora, después de la etapa de $N$ hay $2^N$ conjuntos, pero estos tienen medida:
$$ 2^N \cdot \left(\frac{1}{N!}\right)^\epsilon \approx \left(\frac{2 e^\epsilon}{N}\right)^N \to 0$$
y esto es cierto para todos los $\epsilon$. El uso reiterado de las funciones que estamos usando $T_{1,N}(x) = \frac{x}{N}$$T_{2,N}(x) = \frac{x}{N} + (1-\frac{1}{N})$. Aquí están algunas notas sobre la dimensión de la teoría.
Aquí una gran cantidad de trabajo se ha invertido en la construcción de niza establece, pero necesitamos dos sets agradables $X,Y\subset [0,1]$$X + Y = [0,2]$. Necesariamente $0,1 \in X \cap Y$.
Es cierto que la $C + C = [0,2]$ no creo que esto es cierto para el conjunto que he construido.
Otra ruta podría ser el intento de la construcción de "el Cantor establece" el uso de fracciones continuas, cuyos dígitos son acotados o evitar un determinado número.
$$ A_k = \{ [a_1, \dots, a_k, \dots] : 0 \leq a_i < k \} \subset \mathbb{Q} $$
Estos conjuntos pueden ser suficientemente escasa y tiene la suma de la propiedad que usted desea.
