P(x) es impar el polinomio. Cuando (x−3) es un factor fuera, el resto es 6.

Question

Utilizando el teorema del resto, cuando $x=3$, $p(x)=6$, y si la función es impar entonces cuando $x=-3$, $p(x)=-6$.

Yo aprecio mucho si alguien me puede orientar a través del proceso de resolución de problemas, ya que es lo que me preocupa más. Gracias de antemano.

Answer 1

Desde que pidió un poco de orientación...

En general, si dividimos un grado $n$ polinomio $p(x)$ por un grado $m<n$ polinomio $d(x)$, vamos a terminar con un grado $n-m$ polinomio $q(x)$ y un grado de $m-1$ resto $r(x)$. (Esto se deduce del algoritmo de la división - que podría ayudar a realizar un par de largos sintéticos o divisiones en algunos de los polinomios sólo para jugar con esta idea.)

Ahora podemos expresar $p$ en términos de $d$, $q$ y $r$ como:

$$\overbrace{p(x)}^{\text{degree }n}=\underbrace{q(x)}_{\text{degree } n-m}\overbrace{d(x)}^{\text{degree }m}+\underbrace{r(x)}_{\text{degree }m-1}$$

En el problema que se presente, que nos dan que al $p(x)$ se divide por $d(x)=x-3$, el resto es $6$. Por el teorema del resto, podemos concluir $p(3)=6$.

Puesto que se nos dice que $p$ es una función impar, $p(-3)=-p(3)=-6$.

Se nos pide para el resto cuando $p(x)$ se divide por $x^2-9=(x+3)(x-3)$. Aviso que este es un grado $2$ polinomio, por lo que el resto será un grado $1$ (lineal) polinomio. En otras palabras, $r(x)$ tendrá la forma $ax+b$.

Expresan $p(x)$ en términos de esta nueva información, entonces:

$$p(x)=q_2(x)(x+3)(x-3)+(ax+b)$$

A partir de esto, podemos ver que $p(3)=3a+b$, lo que sabemos es $6$, e $p(-3)=-3a+b$, lo que sabemos es $-6$. La solución de estos, simultáneamente, nos da $a=2$$b=0$. Por lo tanto el resto es el grado $1$ polinomio $2x$.

Answer 2

Sugerencia: por división euclidiana $p(x) = (x^2-9) q(x) + a x + b$.

A continuación,$p(3)-p(-3)= 6a = 6 - (-6) = 12$$a=2$.

Desde $p(x)$ es impar, todos los coeficientes de incluso los poderes de $x$$0$, incluyendo la libre plazo, por lo $b=0$.

Así que el resto es $\cdots$

Answer 3

Sugerencia: el vinculado pregunta es muy útil para su propósito real. Deje $ax+b$ el resto al $p(x)$ se divide por $x^2-9$: $$ p(x)=(x^2-9)q(x)+ax+b. $$ Sabemos \begin{aligned} 6\color{blue}{=}p(3)=0q(3)+3a+b&\implies 3a+b=6,\\ -6=-p(3)\color{blue}{=}p(-3)=0q(-3)+(-3)a+b&\implies-3a+b=-6 \end{aligned} El $\color{blue}{\text{colored}}$ bits de arriba es donde se utilice la información dada.

Así, dos ecuaciones con dos incógnitas ( $a$ $b$ ), se puede continuar?

Answer 4

Por el Algoritmo de la División para polinomios, el resto tiene la forma $ax+b$ para las constantes $a, b$. Por lo tanto, tenemos:$$p(x)=(x^2-9)q(x)+ax+b\implies 6=3a+b;-6=-3a+b$$, where $q(x)$ is a polynomial of degree $2$ less than $p(x)$ . Solving the two equations obtained for $a, b$; we obtain the remainder as $2x$.