Como Zhen Lin dice, una parte muy importante de la Eilenberg–Zilber teorema es que el lax-monoidal el mapa de la estructura es un cuasi-isomorfismo. Sin embargo, la reformulación de la primera parte del teorema como "el functor $C_*(-)$ es de lax-monoidal" es útil para la aplicación de los resultados generales. Por ejemplo:
La proposición. Deje $\mathsf{C}$ $\mathsf{D}$ ser monoidal simétrica categorías, y $F : \mathsf{C} \to \mathsf{D}$ laxa monoidal functor. A continuación, $F$ induce un functor de monoid objetos en $\mathsf{C}$ a monoid objetos en $\mathsf{D}$.
Prueba. Deje $M$ ser un monoid objeto en $\mathsf{C}$. El producto de morfismos en $F(M)$ está dado por
$$F(M) \otimes F(M) \xrightarrow{\text{lax monoidal}} F(M \otimes M) \xrightarrow{F(\mu)} F(M)$$
y la unidad de
$$1_\mathsf{D} \xrightarrow{\text{lax monoidal}} F(\mathsf{1}_C) \xrightarrow{F(e)} F(M).$$
Entonces, es fácil ver que esto le da a $F(M)$ la estructura de un objeto de grupo, y que $F$ a continuación se define un functor de los objetos de grupo a los objetos de grupo.
Corolario. Si $M$ es topológico, monoid, a continuación, $C_*(M)$ es un monoid en la categoría de los complejos de la cadena, es decir, un dg-álgebra.
La prueba es inmediata a partir de la Eilenberg–Zilber teorema, y es útil dividir la prueba en dos partes para no empantanarse en detalles técnicos. Más generalmente, si $\mathtt{P}$ es topológico, operad, a continuación, $C_*(\mathtt{P})$ es un dg-operad, y si $A$ $\mathtt{P}$- álgebra, a continuación, $C_*(A)$ $C_*(\mathtt{P})$- álgebra.
Básicamente, cualquier tipo de "producto" de la estructura puede ser transportado de espacios topológicos a los complejos de la cadena; en general, este es "el punto" de la determinación de si un functor es laxa monoidal o no. Usted necesitaría un oplax monoidal functor para transformar topológico "subproducto" de las estructuras en subproducto de la dg-estructuras. El EZ functor no oplax monoidal, por lo que en general no se puede esperar que a su vez "coalgebras" en "coalgebras".
