Opuesto a una cartografía de contracción

Question

Estoy cursando Análisis Real y hace poco repasamos el Teorema del Punto Fijo de Banach, también conocido comúnmente como Teorema del Mapeo de la Contracción que dice:

Si $(X,d)$ es un espacio métrico completo, y $f:X\to X$ es una contracción, es decir $f$ satisface $$d(f(x),f(y)) \leq L d(x,y)$$ por cada $x,y \in X$ y algunos fijos $L<1$ entonces $f$ tiene exactamente un punto fijo, es decir, existe un único $z \in X$ tal que $f(z)=z$ .

Estaba pensando en una declaración similar para lo que supongo que se llaman mapeos de expansión.

Supongamos que $(X,d)$ es un espacio métrico completo y $f:X\to X$ satisface $$ d(f(x),f(y)) \geq L d(x,y)$$ para algunos fijos $L>1$ y cada $x,y \in X$ con $x\neq y$ . Hace $f$ ¿tiene necesariamente exactamente un punto fijo?

No he podido encontrar un contraejemplo utilizando funciones reales, aunque no he tenido tiempo (debido a los deberes) de pensar mucho más en ello.

He buscado en Google "expansion mapping" y otros términos similares, pero no parece haber ninguna fuente útil sobre el tema que haya podido encontrar. Creo que esta noción de mapeo de expansión es natural después de considerar los mapeos de contracción, así que no sé por qué no parece haber ninguna investigación disponible sobre el tema.

Tengo algunas buenas ideas para tratar de probar esto que podrían ayudar.

En primer lugar, observamos que $f$ debe ser inyectiva, de lo contrario tendríamos dos puntos distintos que se acercan (distancia cero) después de aplicar el mapeo lo que sería una contradicción.

Así, $f$ es invertible a la izquierda. Si tuviera que adivinar, diría que la inversa izquierda de un mapeo de expansión debe ser un mapeo de contracción (con constante recíproca $\frac{1}{L}$ ?). Entonces esa contracción debe tener un punto fijo por el Teorema del punto fijo de Banach. Quizás se pueda demostrar que también debe ser un punto fijo de $f$ sí mismo, no me he tomado el tiempo de ver si los puntos fijos se preservan usando sólo la invertibilidad unilateral.

Cualquier pensamiento, idea, investigación o prueba sobre el tema de los mapeos de expansión es bienvenido.

Answer 1

Dejemos que $X=[0,\infty)$ y considerar \begin{align*} f:X&\rightarrow X\newline x&\mapsto 2\cdot x+1 \end{align*} Entonces $f$ se expande, sinde dado $x,y\in X$ , $$d(f(x),f(y))=|(2\cdot x+1)-(2\cdot y+1)|=2\cdot |x-y|=2\cdot d(x,y)\geq 2\cdot d(x,y)$$ Pero, no tiene punto fijo en $X$ aunque $X$ es obviamente completa, ya que $$2\cdot x+1=x$$ equivale a $$x=-1\not\in X$$

Como se puede ver la falta de suprajectividad es el gran problema para tener un punto fijo, ya que hace imposible asegurar las buenas propiedades de la inversa. Es decir, si $f$ es expansivo y biyectivo su argumentación es verdadera.

Volviendo al ejemplo, al calcular un inverso de la izquierda puede ser \begin{align*} g:X&\rightarrow X\newline x&\mapsto \begin{cases}\frac{x-1}{2} &\text{if }x\in [1,\infty)\newline0 &\text{if }x\in [0,1)&\end{cases} \end{align*} Que obviamente es contraíble, y tiene punto fijo cero. Sin embargo, $$0=g(0)$$ no nos permite afirmar $$f(0)=0$$

Answer 2

$X=[1,\infty)$ , $f(x)=2x$ es un contraejemplo.

Hay como máximo un punto fijo en general, porque si $x$ y $y$ son ambos puntos fijos, entonces $d(x,y)=d(f(x),f(y))\geq L d(x,y)$ implica $x=y$ .

Para el caso $X=\mathbb R$ , podrías tomar $f(x)=2x+1$ si $x\geq 0$ y $f(x)=2x$ si $x<0$ . Sin embargo, no hay contraejemplos continuos para $X=\mathbb R$ que se puede demostrar utilizando el teorema del valor intermedio.