Máxima ideales del polinomio anillos en infinidad de variables

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Nullstellensatz los estados que los máximos ideales de la polinomio anillo de $R=k[X_1,\dots,X_n]$ son precisamente las de la forma$\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle$,$(a_1,\dots,a_n)\in k^n$.

Lo que si estamos trabajando con una infinidad de variables, decir $\{X_i\}_{i\in I}$, siendo la $I$ un conjunto infinito? De nuevo, los ideales de la forma$\bigl\langle\{X_i-a_i: i\in I\}\bigr\rangle$, $(a_i)_{i\in I}\subseteq k$ son máximas (incluso si $k$ no es algebraicamente cerrado), pero ¿y a la inversa?

Answer 1

Deje $k$ ser un campo y dejar a $K$ ser una extensión de $k$ de grado mayor que $1$. Deje $R=k[X_i, i\in K]$ ser un polinomio anillo con una variable por cada elemento de a $K$. Hay un $k$-lineal anillo homomorphism $\phi:R\to K$ que se asigna a $X_i$ $i$todos los $i\in K$, y es surjective. De ello se deduce que el núcleo de $\phi$ es máxima. Claramente, no es de la forma que usted ha mencionado: en efecto, el cociente de $R$ por todos los ideales de esa forma es $1$-dimensional como una $k$-álgebra.

Answer 2

Si $|k| > |I|$, entonces cualquier ideal maximal de a $k[\{x_i\}_{i \in I}]$ es de la forma estándar, consulte MO/41262. El "barato" a prueba de la Nullstellensatz obras. El ejemplo de Mariano muestra que esto no si $|k|=|I|$.