Cuántos ordenó triples de los números racionales $(a,b,c)$ hay tales que el polinomio cúbico $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ tiene raíces $a,b$$c$?
El polinomio puede tener repetidos de raíces.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
JiminyCricket
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[Hubo un error en la primera versión de esta respuesta que provocó una solución van a faltar.]
La única monic polinomio con raíces $a,b,c$$(x-a)(x-b)(x-c)$, por lo que debemos tener
$$ \begin{align} a&=-a-b-c\;,\\ b&=ab+bc+ca\;,\\ c&=-abc\;. \end{align} $$
Si $c=0$, esto se convierte en
$$ \begin{align} a&=-a-b\;,\\ b&=ab\;,\\ \end{align} $$
y por lo tanto, $b=0$ $a=0$ o $a=1$$b=-2$.
Si $c\ne0$, la tercera ecuación se convierte en $ab=-1$; la sustitución de $b=-1/a$ en la primera ecuación rendimientos
$$ c=-2a+\frac1a\;, $$
y, a continuación, la segunda ecuación se convierte en
$$ -\frac1a=-1+2-\frac1{a^2}-2a^2+1\;. $$
Multiplicando por $a^2$ rendimientos
$$ 2a^4-2a^2-a+1=0\;. $$
La solución de $a=1$ es de fácil adivinar, y dividiendo por $a-1$ rendimientos
$$ 2a^3+2a^2-1=0\;, $$
que tiene uno irracional y dos raíces complejas (cálculo). La solución de $a=1$ conduce a $b=c=-1$.
Por lo tanto el único ordenado triples son $(0,0,0)$, $(1,-2,0)$ y $(1,-1,-1)$, con los correspondientes polinomios $x^3$, $x^3+x^2-2x$ y $x^3+x^2-x-1$, respectivamente.
