La comprensión de los tres teoremas de isomorfismo

Question

He aprendido las siguientes tres isomorphisms por un tiempo, pero sin una verdadera comprensión:

Un grupo de homomorphism $\phi:G\to G'$ puede ser descompuesto en \begin{equation}G\xrightarrow{\text{quotient}}G/\operatorname{ker}(\phi)\simeq \operatorname{Im}(\phi)\hookrightarrow G'. \end{equation}

y

$H$ es un subgrupo normal de $G$ $K$ es otro subgrupo. A continuación, $H\cap K$ es normal en $K$, $HK$ es un subgrupo dentro de la cual se $H$ es normal, y \begin{equation}\frac{K}{H\cap K}\simeq \frac{HK}{H}. \end{equation}

y

$H$ es un subgrupo $G$ $K\supset H$ es otro subgrupo. A continuación, $K/H$ es normal en $G/H$ si y sólo si $K$ es normal en $G$. Si $K$ es normal, a continuación,\begin{equation}\frac{G}{K}\simeq \frac{G/H}{K/H}. \end {equation}

Las pruebas de estos tres teoremas son bastante directos, y después de enseñar a mí mismo en alguna categoría de la teoría de la que me siento más cómodo con la primera. Pero no me siento de ellos. (Como en este post por Gowers explica la Órbita Stablizer por el movimiento de un cubo y con esta imagen da la sensación de que un teorema tiene que ser el correcto.)

Me pregunto si alguien puede compartir una perspectiva similar en los tres isomorphisms tal vez por el uso intuitivo-pero-no-trivial ejemplos como el de Gowers.

Gracias!

Answer 1

Me gustaría interpretar abstracto estructuras algebraicas: en lugar de "normal subgrupos' decimos 'congruencia relación' (es decir, las relaciones de equivalencia la preservación de la totalidad de las operaciones), y en lugar de 'subgrupos' decimos 'subalgebras'. En particular, estos tienen para los conjuntos, subconjuntos y las relaciones de equivalencia:

1. Cualquier homomorphism $\phi:A\to B$ puede ser descompuesto en $A\twoheadrightarrow A/\ker \phi \cong im\phi\hookrightarrow B$ donde $im\phi$ es el rango y $$ a\,(\ker\phi)\,a_1 \iff f(a)=f(a_1).$$
2. Deje $\eta$ (en lugar de $H$) ser una congruencia en un álgebra $A$, e $B$ (en lugar de $K$) ser una subalgebra de $A$, $H\cap K$ corresponde a la congruencia $\eta|_B\,(:=\eta\,\cap\, B\times B)$$B$, e $HK$ corresponde a la subalgebra $\eta(B):=\{a\in A\mid \exists b\in B:\, a\,\eta\, b\}$.
3. Ahora $K$ $H$ ambos querían ser normal subgrupos, por lo que en lugar de ellos, hemos congruencias $\kappa$ $\eta$ sobre un álgebra $A$, y consideramos a $\kappa/\eta$ que es la inducida por la congruencia en $A/\eta$$\kappa$, es decir, $$[a]_\eta \, (\kappa/\eta)\, [a_1]_\eta \iff \exists a',a_1': a\,\eta\, a'\,\kappa\,a_1'\,\eta\, a_1. $$