Cálculo diferencial vs Cálculo integral

Question

Nunca he hecho integración en mi vida y estoy en primer año de universidad. ¿Es más difícil que tomar la derivada? He escuchado que es simplemente ir hacia atrás. Además, mi escuela secundaria solo me enseñó diferenciación, no sé por qué nunca tocamos integración. Voy a comenzarla la próxima semana y quiero saber a qué me enfrento. ¿Generalmente se considera más difícil que la diferenciación? Gracias de antemano.

Answer 1

Si te sentías cómodo con los derivados, te sentirás cómodo con las integrales en el cálculo del primer año. Nunca está de más prestar atención en clase (lo que implica asistir a clase) y hacer tu tarea. De hecho, si tienes problemas con un problema, deberías hacer más del mismo tipo tan pronto como sepas la respuesta. En cuanto a la dificultad:

Las integrales empiezan siendo más difíciles que los derivados y terminan siendo más fáciles. La razón por la que los derivados son más fáciles es que si una función tiene un derivado, puedes calcular cuál es. Existe un algoritmo para hacerlo. A veces, el cálculo puede ser largo y complicado. Pero teóricamente, cualquiera puede hacerlo.

Con la integral, se te darán muchos problemas para resolver, pero no hay un algoritmo. Los problemas que obtendrás en el cálculo del primer año serán solucionables si aprendes suficientes trucos. (Están diseñados para ser solucionables). Hay cientos de trucos porque a lo largo de muchos años, muchos matemáticos inteligentes los han descubierto. Probablemente aprenderás de 3 a 5 trucos en tu clase del primer año.

Las integrales que no están sujetas a los trucos (es decir, la mayoría de ellas) se evalúan con métodos numéricos o aproximativos y para propósitos prácticos esto funciona muy bien. De hecho, con la disponibilidad de computadoras, muchos de los viejos trucos han caído en desuso, porque es más rápido simplemente hacer el cálculo numérico.

Las integrales y los derivados son el reverso uno del otro en el mismo sentido en que la suma y la resta lo son. Como sabes, realizar una operación en una dirección a menudo es más fácil que revertirla. Así, la multiplicación es más fácil que la división, y elevar cosas a potencias es más fácil que lo contrario: encontrar raíces.

Una expresión de la conexión entre los derivados y las integrales es el Teorema Fundamental del Cálculo, que probablemente te enseñarán. Sin embargo, los dos temas están más entrelazados de lo que sugiere el Teorema Fundamental. De hecho, encuentro fascinantes las innumerables interconexiones.

¿Ahora por qué la dificultad cambia más tarde? Los derivados son acerca de diferencias y divisiones que hacen que una función sea menos suave; y mientras más suave sea una función, más fácil es trabajar con ella. Por ejemplo, si f es diferenciable, f' puede ser solo continua; y de hecho, puede ser discontinua. Has tomado una función relativamente suave y la has degradado.

Las integrales son acerca de la suma, es decir, del promedio, que siempre suaviza las cosas. Puedes integrar funciones discontinuas y salirán continuas. Integra nuevamente y serán diferenciables, lo cual es incluso más suave que ser continuas. Nos gusta lo suave.

Answer 2

La integración es el proceso inverso a la diferenciación a través del Teorema Fundamental del Cálculo. La integración suele ser más difícil porque aprenderás y utilizarás técnicas como fracciones parciales, sustituciones trigonométricas, sustituciones de expresiones algebraicas, integración por partes, etc. Algunas integrales de valores reales solo se pueden resolver fácilmente utilizando técnicas de Análisis Complejo como el Teorema del Residuo de Cauchy. Para explicarlo, la integración históricamente consiste en encontrar el límite de una suma de infinitesimales. Además, integrar una función la suaviza, mientras que diferenciar una función la hace menos suave. La integración requiere entender el comportamiento de la función en todo el intervalo, mientras que la diferenciación solo requiere entender el comportamiento del cambio de la tasa de la función alrededor de un punto y su vecindario.

Answer 3

La integración es mucho más difícil que la diferenciación, especialmente la sustitución trigonométrica, pero yo soy un estudiante de quinto grado y tú eres un estudiante de secundaria, por lo que es posible que lo entiendas mejor. Aquí tienes una regla útil: Antiderivada de x a la potencia n: x a la potencia n+1/n+1