"inversa" de la ecuación de diophantine

Question

Supongamos que definimos $A= (8+\sqrt{x})^{1/3} + (8-\sqrt{x})^{1/3}$. ¿Cómo podemos encontrar, de manera algebraica, todos los valores de x para los cuales $A$ es un número entero?

Yo no era capaz de este problema ahorrar para con Mathematica. ¿Cómo podemos resolver esto utilizando la herramienta de nuestro cerebro?

Answer 1

$A^3 = 16+3A\sqrt[3]{64-x}$ o $A^3 = 16+3Ay$ donde $y=\sqrt[3]{64-x}$.

Para cada una de las $A \ne 0$ tenemos $y=\frac{A^3-16}{3A}$, e $x=64-y^3$.

Si $A\in (0,4]$,$x\ge 0$.
Si $A\in (4,\infty)$,$x<0$, lo $\sqrt{x}$ va a ser imaginario.
(si $A<0$, entonces no tenemos soluciones, porque RHS de su fórmula ha $Re > 0$. (?))

Escrito por una fila, tenemos $$x=64-\left(\frac{A^3-16}{3A}\right)^3.$$

\begin{array}{|l|l|} A & x \\ --- & --- \\ 1 & 189 \\ 2 & 1792/3^3 \\ 3 & 45325/3^6 \\ 4 & 0 \\ 5 & -1079029/(3\cdot 5)^3 \\ 6 & -7626752/(3\cdot 6)^3 \\ 7 & -34373079/(3\cdot 7)^3 \\ 8 & -236600/3^3 \\ 9 & -361207385/(3\cdot 9)^3 \\ \cdots & \cdots \end{array}