Las palabras clave aquí son la asociatividad y conmutatividad. La operación $x \circ y = \frac{xy}{x + y}$ tiene claramente la propiedad $x \circ y = y \circ$ x. A menos, evidentemente, también tiene la propiedad
$$(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z).$$
Usted puede verificar esto mediante el cálculo de ambos lados de $\frac{xyz}{xy + yz + zx}$. Una vez que sabes esto, se deduce que $x \circ$ y define un conmutativa semigroup (en, digamos, el positivo de reales, para asegurar que la división es siempre bien definida), y en un conmutativa semigroup la expresión
$$x_1 \circ x_2 \circ ... \circ x_n$$
está bien definido, sin la necesidad de insertar entre paréntesis (asociatividad) y, además, independiente del orden de los $x_i$ (conmutatividad).
Una mancha de camino para ver que $\circ$ es, de hecho, asociativa y conmutativa es escribir como
$$x \circ y = \frac{1}{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} } = f^{-1}(f(x) + f(y))$$
donde $f$ (es decir, como una función de la positiva reales positivos reales) denota la inversión. A continuación, la asociatividad y conmutatividad de $\circ$ de la siguiente manera a partir de la asociatividad y conmutatividad de la $+$, ya que
$$x \circ y = f^{-1}(f(x) + f(y)) = f^{-1}(f(y) + f(x)) = y \circ$x$
y
$$\begin{align*} (x \circ y) \circ z &=& f^{-1}(f(f^{-1}(f(x) + f(y))) + f(z)) \\\
&=& f^{-1}(f(x) + f(y) + f(z)) \\\
&=& f^{-1}(f(x) + f(f^{-1}(f(y) + f(z)))) \\\
&=& x \circ (y \circ z). \end{align*}$$
Se sigue por la inducción que
$$x_1 \circ ... \circ x_n = f^{-1}(f(x_1) + ... + f(x_n)) = \frac{1}{ \frac{1}{x_1} + ... + \frac{1}{x_n} }.$$
Usted puede pensar en esto como diciendo que $\circ$ es sólo otro nombre para la operación de adición, pero se está codificado de una manera divertida por $f$ y necesita decodificar por $f^{-1}$ para que todo tenga sentido. Más formalmente, $f$ define un isomorfismo de los positivos reales por debajo de los $\circ$ a la positiva reales en virtud de la adición.
Por escrito las otras opciones para $f$ se puede escribir más complicado ejemplos de funciones con la misma propiedad mediante el transporte de la estructura. Por ejemplo, si $f(x) = \log x$, entonces $f^{-1}(x) = e^x$, y
$$f^{-1}(f(x) + f(y)) = e^{\log x + \log y} = e^{\log x} e^{\log y} = xy$$
por lo que $f$ define un isomorfismo, por ejemplo, de positivos reales en virtud de la multiplicación de los reales en virtud de la adición (ambos de los cuales definen los grupos).
Como otro ejemplo, si $f(x) = x^2$, entonces $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$, y
$$f^{-1}(f(x) + f(y)) = \sqrt{x^2 + y^2}$$
por lo que $f$ define un isomorfismo, por ejemplo, de la no-negativos reales en virtud de la operación $x \circ y = \sqrt{x^2 + y^2}$, a la no-negativos reales en virtud de la adición.
Como un ejemplo final, dejar que $f(x)$ ser el arcotangente hiperbólico inverso, de modo que $f^{-1}(x) = \tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$. Luego resulta que
$$f^{-1}(f(x) + f(y)) = \frac{x + y}{1 + xy}$$
que es (en unidades apropiadas) la velocidad-además de la fórmula de la relatividad especial, y $f$ define un isomorfismo del intervalo $(-1, 1)$, en virtud de la operación de los reales en virtud de la adición.
