La existencia de objetos matemáticos construidos usando el axioma de elección

Question

Vamos a considerar el conjunto de Vitali $V \subset \mathbb R$, que está construido utilizando el axioma de elección. (Yo podría tomar cualquier otro matemático "objeto" que puede ser construido con el axioma de elección, pero he elegido el conjunto de Vitali sólo para que el propósito más claro).

Por un lado, el conjunto de Vitali existe gracias al axioma de elección. Por otro lado, el poder establecer $\mathcal P (\mathbb R)$ existe en ZF sin asumir CA. En cierto sentido, la existencia de $A \in \mathcal P (\mathbb R)$ es independiente (es decir, no requiere) AC.

Pero entonces, yo tenía la siguiente reflexión : la existencia de un conjunto de Vitali $V \in \mathcal P (\mathbb R)$, como un elemento de este juego de poder, no debe requerir el axioma de elección... debe haber alguna falacia aquí ; es por eso que me gustaría algunas aclaraciones.

Para ser conciso : podemos decir que el axioma de elección "afecta" a la existencia de elementos en $\mathcal P (\mathbb R)$ (como parece ser el caso de la existencia de la Vitali), aunque la construcción de la $\mathcal P (\mathbb R)$ (ZF) no tiene nada que ver con AC?

Gracias!

Answer 1

La mayoría de los axiomas de la teoría de conjuntos afirman la existencia de ciertas cosas. ¿Por qué debería de $\mathcal P(\Bbb R)$ existen en el primer lugar? O $\Bbb R$? Utilizamos los axiomas que afirmar su existencia.

Hay una serie de teorías, como el Bolsillo de la teoría de conjuntos, o muy débil variantes de Zermelo-Fraenkel (en particular la mayoría de Kripke-Platek la teoría de conjuntos) que no puede demostrar la existencia de $\Bbb R$. Usted todavía puede hacer un poco de matemáticas en estas teorías, pero los números reales no forman un conjunto no.

Así que no debería ser una verdadera sorpresa que el axioma de elección, que afirma la existencia de varios objetos, puede ser usado para demostrar la existencia de diversos objetos.

Igualmente, los axiomas de que el campo no afirman la existencia de $\sqrt2$. Sabemos que no es coherente que $\sqrt2$ existe, pero también que no. Por qué no debería ser diferente de Vitali conjuntos, o cualquier otro intangible objeto?

Answer 2

$\mathcal P (\mathbb R)$ existe en cualquier conjunto teórico del universo con el Poder Establecido axioma en el que $\mathbb R$ es un conjunto. AC vs $\neg$CA los cambios en el universo de los conjuntos, y por lo tanto lo que exactamente $\mathcal P(\mathbb R)$ se compone de.

Answer 3

Es importante distinguir entre objetos reales (en nuestro caso 'sets') y las definiciones de los mismos. Mientras que podemos probar en $\operatorname{ZF}$ (con o sin opción) que cada modelo de $\operatorname{ZF}$ tiene que contener un objeto que satisface (en el interior de este modelo) la definición de '$\mathcal P(\mathbb R)$', esto no nos dicen toda la historia de lo que este objeto en particular es en realidad.

(En el siguiente, supongamos que hemos definido $\mathbb R$ a ser el conjunto de todas las funciones de $f \colon \omega \to \omega$. Realmente no importa, pero tenemos que ser un poco cuidadoso con cómo definir los reales como un conjunto para algunos absolutismo razones... también Vamos a tomar $\operatorname{ZFC}$ como fondo de la teoría.)

Por ejemplo: supongamos $(M; \in)$ ser una contables transitiva modelo de (suficientemente grandes fragement de) $\operatorname{ZF}$. Luego habrá algunos $x \in M$ tal que $$ (M; \) \models 'x = \mathcal P (\mathbb R)' $$ (por que me refiero a que $M$ piensa que $x$ es el powerset de los reales). Como $M$ es contable y transitiva, tenemos que $x \subseteq M$ e lo $x$ tiene que ser contables así. Pero (este es el punto donde es importante la forma en que hemos definido los reales como un conjunto) desde el punto de vista de nuestro fondo universo, $x$ realmente consiste en subconjuntos de los reales, por lo $x$ es un subconjunto de la 'verdadera' powerset de los reales. Es sólo el caso de que se pierde la mayoría de los subconjuntos. En particular, $x$ puede o no puede contener algunos $y \in x$ tal que $$ (M; \) \models 'y \text{ es un conjunto de Vitali}' $$

Si $(M; \in)$ satisface elección, entonces no va a ser, de hecho, ser un $y \in x$.