Demostrar que la suma de los seis ángulos subtendido en un punto interior de un tetraedro por sus seis caras es mayor de 540°.
Cualquier ayuda por que me empezó a salir de aquí? Yo no soy capaz de obtener alguna idea de como empezar con este
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los ángulos subtendido por los bordes en un punto interior no cambiar si queremos mover uno de los vértices hacia el punto. Por lo tanto, podemos transformar cualquier contraejemplo a uno donde el punto es arbitrariamente cerca de un vértice, por lo que sólo tenemos que considerar lo que sucede en el límite del punto interior acercarse a algunas de vértice $v$ a lo largo de algunos de dirección fija $d$. En ese caso, el límite del ángulo subtendido por un borde de $e$ no incidente en $v$ es el ángulo del vértice en $v$ de la cara que contiene $e$$v$, y el límite del ángulo subtendido por un borde de $e$ incidente en $v$$\pi-\angle(d,e)$. De modo que la suma de los subtendido ángulos es la suma de los vértices de los ángulos en $v$ $3\pi$ menos la suma de los ángulos entre los $d$ y los bordes incidente en $v$. Que la última suma siempre puede ser aumentado mediante la rotación $d$ hacia uno de los bordes incidente en $v$, tan sólo tenemos que considerar el caso en que $d$ es la dirección de uno de los bordes. En este caso, la contribución de que el borde es $\pi$ y las contribuciones de las otras dos aristas incidentes en $v$ cada $\pi$ menos uno de los vértices de los ángulos. Por lo tanto, la suma es $3\pi$ más en el tercer vértice del ángulo, que es mayor que $3\pi$. Ya podemos hacer el tercer vértice del ángulo arbitrariamente pequeño, este es también el mejor posible obligado.
