La confusión acerca de la Curvatura Positiva en Holomorphic Paquetes.

Question

Estoy tratando de entender el principio de que la curvatura disminuye en holomorphic subbundles y aumenta en el cociente de paquetes como se muestra en la G-H (Griffiths Harris) página 78-79.

Programa de instalación:

Deje $E\rightarrow M$ ser un Hermitian holomorphic paquete, $S\subset E$ ser un holomorphic subbundle y $Q=E/S$ ser el cociente de paquete. Q puede ser visto en el unitaria de los fotogramas de diffeomorphic a $S^{\perp}$. Por lo tanto $S$ $Q$ son tanto Hermitian.

Vamos $D_E$, $D_S$ y $D_Q$ ser las conexiones compatibles con las estructuras complejas (Compatibilidad con la métrica y la desaparición de holomorphic secciones). Por la singularidad de tales conexiones, $D_S=\pi_S\circ (D_E|_{A^0(S)})$ donde $A^0(S)$ son secciones de $S$.

Ahora $A:=D_E|_{A^0(S)} -D_S$ $C^\infty (M)$ lineal y mapas de las secciones en $S^{\perp}=Q$ con coeficientes en $A^{(1,0)}(M)$ (Debido a la definición de una conexión y las condiciones de compatibilidad en $D_E$$D_S$). En resumen, $A\in A^{(1,0)}(Hom(S,Q))$.

Ahora, como en el G-H, la elección de un marco unitario ${e_i}$ E (el primer par de vectores que forman un marco para $S$) vemos que la matriz de las formas para$D_E$$\theta_E = \begin{bmatrix} \theta_S & A^* \\ A & \theta_Q \end{bmatrix}$.

Observación 1: La fórmula anterior es incorrecta ya que en un marco unitario $\theta_E = -\theta_E^*$. Así que debemos tener un $-$ firmar junto con el $A^*$.

Pregunta 1: ¿Es correcto esto?

En este supuesto, las fórmulas correctas son:

$\theta_E = \begin{bmatrix} \theta_S & -A^* \\ A & \theta_Q \end{bmatrix}$,

$\Theta_S=\Theta_E|_{S}-A^*\wedge A$,

$\Theta_Q=\Theta_E|_Q-A\wedge A^*$. Estos son los derivados de la $\Theta = d\theta-\theta\wedge\theta$.

Definición: G-H define $\Theta$ a ser positiva si para todas las $v$ - holomorphic vectores tangente, la matriz $-i(\Theta(x);v,\bar v)$ es positiva definida, en particular hermitian. Aquí, voy a asumir que somos la fijación de un local unitario marco, la evaluación de los coeficientes de (1,1)-formas de $\Theta(x)$ $(v,\bar v)$ y luego busca en la matriz resultante en $Hom(E_x,E_x)$.

Reivindicación 1: es que $\Theta_Q \geq \Theta_E|_Q$, es decir, la curvatura aumenta en un cociente de paquetes. Utilizando la fórmula corregida, queremos mostrar a $-A\wedge A^*$ es positivo.

Nota, un cálculo de muestra (por definición?) $-A\wedge A^*$ $A^{(1,1)}(Hom(Q_x,Q_x))$ e las $(p,q)$ entrada $-\sum_{\alpha,\beta} \sum_k a_{pk}^\alpha \bar{a}_{qk}^\beta dz_\alpha\wedge d\bar{z}_\beta$. Y la siguiente G-H, la contratación con $(\partial{z_\alpha},\partial{\bar z_\alpha})$ da la matriz $-A^\alpha {A^*}^\alpha$ $Hom(Q_x,Q_x)$ y llegan a la conclusión de que esto demuestra positividad.

Pregunta 2: Ya que yo soy un Idiota y lo máximo que puedo hacer es seguir las instrucciones, estoy asumiendo que son de cheques (como requiere la definición) que $-i(-A^\alpha {A^*}^\alpha)$ es hermitian positiva definida. Pero, evidentemente, la $i$ está echando a perder las cosas. Puede que me caiga de la definición? Lo que me estoy perdiendo? La positividad en otras fuentes (por ejemplo, https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscritos/agbook.pdf defn 6.3 en la página 338) no tienen ni la $i$ o de la $-$ signo. Pero necesito el $-$ signo, así que no puedo soltar las dos! ¿Hay alguna norma de punto de vista en la definición de positividad (Espero que alguno que se ajuste sistemáticamente en este argumento)?

Pregunta 3: ¿por Qué es suficiente para comprobar la condición de positividad en pares de vectores de la forma $(\partial z_k,\partial \bar z_k)$? Si trato de contrato con $(\sum_{l} c_l \partial z_l, \sum_k \bar c_k \partial \bar z_k)$, puedo obtener una matriz en la $Hom(Q_x,Q_x)$ puedo conseguir algo mucho más feo, que no parece ser de la forma $MM^*$

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Answer 1

Primero que nada, déjenme decirles que están lejos de ser "un idiota." Signos y factores de $\sqrt{-1}$ en geometría compleja son inconsistentes en los libros y documentos y a menudo son la perdición de la existencia de aquellos de nosotros que trabajamos(ed) en el campo. En segundo lugar, permítanme decir que adoro Griffiths y Harris (y se han impartido cursos de partes de él), pero se sabe que tiene errores, en su mayoría pequeños, pero-como ya hemos descubierto--molesto.

OK, así que, por supuesto, tienes razón sobre el significado de sesgar-hermitian. Pero, de hecho, es realmente la parte superior derecha de la matriz que debe ser etiquetados $A$ y consta de $(1,0)$ formas.† Las diversas reglas de transformación ($g^{-1}$ en la derecha, por ejemplo) indican que realmente estamos trabajando con vectores fila, no vectores columna. Así que las fórmulas correctas, debería ser $$\Theta_S = \Theta_E\big|_S - a\wedge^* \quad\text{y}\quad \Theta_Q = \Theta_E\big|_Q - ^*\wedge A.$$

Siguiente: este es el motivo por el factor de $\sqrt{-1}$. La noción de la positividad de la curvatura, como se verá, se empate con real cohomology. Si volvemos a lo básico, recuerda que en $\Bbb C$, $dz\wedge d\bar z = -2\sqrt{-1}dx\wedge dy$ y todos estamos de acuerdo en que $dx\wedge dy$ da (positivo) área de formulario para $\Bbb C$. Y, de hecho, $-\sqrt{-1}\big(\sqrt{-1}dz\wedge d\bar z\big)\big(\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial\bar z}\big)>0$. En general, el $(1,1)$forma $\sqrt{-1}\sum h_{\alpha\bar \beta} dz_\alpha\wedge dz^{\bar\beta}$ será positivo iff $(h_{\alpha\bar\beta})$ es positivo-definida hermitian de la matriz. Por lo tanto, si usted relajarse esto, Griffiths y Harris signo de verificación en la curvatura es de hecho correcta.

Último, la comprobación de la positividad es un pointwise la materia. Dado cualquier holomorphic vector tangente $v$$x$, que sin duda puede elegir local holomorphic coordenadas cerca de $x$, de modo que $v=\partial/\partial z_\alpha$ algunos $\alpha$. Por lo tanto, estamos OK en eso, también.

†EDIT: En caso de que usted desea el argumento, estamos haciendo la conexión de la matriz con respecto a un marco unitario de campo. Si en lugar de pensar en una adaptación holomorphic campo marco de $Z_i$, entonces tendremos (por $i,j\le\text{rank}\,S<q\le n$) $e_i = \sum g_i^j Z_j$ para algunos las funciones lisas $g_i^j$ y $$A_{i\bar q} = \langle\nabla e_i,e_q\rangle = \langle \nabla\big(\sum g_i^j Z_j\big),e_q\rangle = \sum dg_i^j \langle Z_j,e_q\rangle + \sum g_i^j\langle \nabla Z_j,e_q\rangle;$$ el primer término se desvanece, y el segundo término se compone de $(1,0)$ -, ya que la conexión es compatible con la holomorphic estructura y el $Z_j$ son holomorphic secciones. (Tenga en cuenta que este argumento funciona para las secciones de la subbundle pero no para las secciones del cociente paquete.)