Bessel tipo de función?

Question

La matriz a continuación

$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \dots\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \dots\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \dots\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & \dots\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 & \dots\\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0 & \dots\\ \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\\ \end{array} \right)$

follows a pattern whereby the first line begins $\{1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0\dots\}$

the second: $\{\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\dots\}$

the third: $\{\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,0,0,\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,0,0\dots\}$

and so on.

Summing the first $m$ rows together and subtracting $\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k}$ from each element from the resultant array gives a sequence of numbers that fluctuates between positive and negative values. The resultant cummulative plot looks like this:

y = 3000; m = 500;
ListPlot[Accumulate[Total[Take[Flatten[ConstantArray
[#,Ceiling[(y)/Length@#]]], y] & /@ Table[Join[ConstantArray[1/row, row], 
ConstantArray[0, row]], {row, 1, m}]] - Sum[1/k, {k, 1, m}]/2]]

where $y$ is the number of columns, and $m$ the number of rows, and is apparently scalable by dividing by $\dfrac{m}{4}$:

Is it true that this is related to the family of Bessel functions (inclusive of trigonometric integrals, which are related to spherical Bessel functions)?

Below is a plot of a Bessel function of the second kind, for illustrative purposes:

given by

$$ Y_0(z)=\dfrac{2}{\pi}\bigg(\bigg(\log(z/2)+\gamma\bigg)\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{m!\ \Gamma(m+1)}(z/2)^{2m}+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{1}{i}\bigg(\dfrac{(z^2/4)^k}{(k!)^2}\bigg)\bigg) $$

Whether it is the case or not, I would be interested to know why it follows this pattern. The periodicity up to $$ y sigue a un tipo particular de aleatoriedad, visto también en las diferencias entre zeta ceros, por ejemplo. Tengo curiosidad por saber si hay alguna conexión.

Actualización

trazado con este (ridículamente largas) trozos de código, gracias a Ruslan's respuesta a continuación.

Answer 1

Esto es raro estar relacionados con funciones de Bessel o la integral de Fresnel o de seno/coseno integral. Vamos a tomar el código, la asignación de la ListPlot argumento de la variable data:

y = 3000; m = 500;
data = Accumulate[
   Total[Take[Flatten[ConstantArray[#, Ceiling[(y)/Length@#]]], y] & /@
       Table[Join[ConstantArray[1/row, row], 
        ConstantArray[0, row]], {row, 1, m}]] - 
    Sum[1/k, {k, 1, m}]/2];
ListPlot[data]

Ahora necesitaríamos para suavizar un poco. Vamos a utilizar una media móvil, por ejemplo, con 30 puntos:

smdata = ListConvolve[#/Total[#] &@Table[1., {i, 1, 30}], data];
ListPlot[smdata, PlotRange -> All]

Ahora esto se ve un poco más manejable mediante la diferenciación, aunque tiene un poco de ruido, todavía podemos ver una estructura en la derivada. Para esto, hacer una interpolación:

di = Interpolation[smdata];

Y la trama es la derivada de la interpolant:

Plot[di'[x], {x, 1, First@Dimensions@data - 500}, PlotRange -> All]

Podemos ver que la derivada puede incluso tener algunos topes en sus extremos, por lo que no se ve como una función suave, que sería si se tratara de una función de Bessel o la integral de Fresnel o cualquier cosa que se supone en los comentarios.

La trama, sin embargo, se dan algunas ideas. Lo que si es sólo "roto" y la (cuasi)periódicamente se refleja? Vamos a tratar de agregar -0.45-di'[x] de la parcela:

Plot[{di'[x], -0.45 - di'[x]}, {x, 1, First@Dimensions@data - 500}, PlotRange -> All]

Esto parece fácil ajuste de la conjetura. Creo que podríamos hacer algo similar con otras cúspides y recuperar algo como una función logarítmica. Aquí están algunos añadidos más parcelas:

Plot[{di'[x], -0.45 - di'[x], di'[x] - 0.70, -0.85 - di'[x], di'[x] - 1}, {x, 1, 
  First@Dimensions@data - 500}, PlotRange -> All]

La definición de una función definida a tramos, podemos trazar la curva sencilla:

pw[x_] = Piecewise[{
    {di'[x], x < 500},
    {-0.45 - di'[x], x < 1000},
    {di'[x] - 0.70, x < 1500},
    {-0.85 - di'[x], x < 2000},
    {di'[x] - 1, True}}];
Plot[pw[x], {x, 1, First@Dimensions@data - 500}, PlotRange -> All]

Ahora, más interesante. Vamos a definir analíticamente lo que tenemos. En primer lugar, podemos observar que nuestra matriz puede ser generada por la siguiente función:

$$f(x,y)=\frac1{2y}\left\{1+\text{sgn}\left[\sin\left(\frac{\pi x}y-\varepsilon\right)\right]\right\},$$

where to get the matrix we should take $\lim_{\varepsilon\to+0}$ and use $x,y=1,2,...$.

Now, we aren't interested in any pixellation noise, so we can switch from taking sums to taking integrals, and from matrix to the generator function itself. Then we don't have to bother with $\varepsilon$, and can set $\varepsilon=0$. Now the sum over column index $y$ and subtracting the sum over $\frac1k$ will give us a function of row index $x$:

$$s(x)=\int_1^m\frac1{2y}\text{sgn}\left(\sin\frac{\pi x}y\right)\text{d} y,$$

where $m$ is the same as m in your code.

Now, taking $y=300$, $m=50$, I get the resulting $s(x)$:

Aquí, en, por ejemplo,$x=30$, tenemos:

$$s(30)=-\frac12\left(\log\frac35+\sum_{n=2}^{30}(-1)^n \log\frac n{n-1}\right).$$

Similar expressions in terms of logarithms are for other $x$ valores.

Así, la correcta descripción de la función en términos de logaritmos. A continuación, la función que pensaba como Bessel-relacionados, siendo una parte integral de esta función, también es expresable en términos de logaritmos.

Sin embargo, observe que la función no es realmente suave. Verla ampliada: