Notación de las funciones inversas elementales

Question

Dejemos que $y = f(x) = \sqrt{2x + 1}$ para $x \geq -1/2$ . Entonces, $f$ es inyectiva en su dominio y, por tanto, su inversa está bien definida. Para encontrar la inversa, simplemente invocamos las operaciones algebraicas necesarias para resolver $x$ y determinar que

$$ x = \frac{y^2 -1}{2} $$

y por lo tanto

$$ f^{-1}(y) = \frac{y^2 -1}{2} $$

Ahora, me doy cuenta de que el nombre de la indeterminada no tiene ningún efecto sobre la validez de la expresión, pero en todos los textos elementales que veo, la inversa se escribe en cambio como $$ f^{-1}(x) = \frac{x^2 -1}{2} $$ lo cual es realmente contraintuitivo. Si nuestra función original mapea del "eje x" al "eje y", entonces tiene sentido que la inversa mapee del "eje y" al "eje x", no a la inversa.

Así que mi pregunta es, ¿Hay alguna razón por la que la mayoría de los textos eligen esta última representación en lugar de la primera o es simplemente una convención que se sigue sin ninguna justificación aparente ?

Answer 1

En primer lugar, la primera representación también se utiliza habitualmente; véase, por ejemplo, la tabla de Wikipedia aquí . Sin embargo, la justificación de esta última representación es simplemente que las funciones suelen escribirse en términos de $x$ ver aquí para un ejemplo concreto.

Answer 2

Siempre que considere $f$ y $f^{-1}$ al mismo tiempo, por ejemplo, cuando se habla de la continuidad de $f^{-1}$ o derivar una fórmula para la derivada de $f^{-1}$ definitivamente debes mantener $y$ como nombre para la variable independiente de $f^{-1}$ . Pero cuando se empieza a discutir $f^{-1}$ , digamos que $\log$ por derecho propio, entonces podría ser útil considerarlo como una función de un ${\it new}\ $ variable de escala horizontal $x$ .