Quiero mostrar que la $f(x)=x^{4k} - 3x ^{3k} + 4x^{2k}-2x^k +1$ es irreducible en a $\mathbb{Q}$ todos los $k\in \mathbb{N}$. Al $k=1$, es fácil mostrar; sin embargo tengo problema en probar este, mientras que $k\ge 2$. He intentado un montón de irreductibilidad de las pruebas, pero no he encontrado una manera de probar esto. Puede alguien darme, al menos, una pista?
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ali
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Lema: Si $F$ contiene una primitiva $k$th raíz de la unidad, a continuación, $f(x)=x^k-b$ es irreducible sobre $F$ si $b$ no tiene ningún $n$th raíz en $F$, $n>1$.
Prueba: sabemos $A=\{\sqrt[k]{b},w\sqrt[k]{b},w^2\sqrt[k]{b},...,w^{k-1}\sqrt[k]{b}\}$ es un subconjunto de a $K=F(\sqrt[k]{b})$ $K/F$ es de Galois. Su grupo de Galois es un subgrupo de $\mathbb Z_k$ debido a que las raíces del polinomio mínimo de a$\sqrt[k]{b}$$A$, lo $\phi:G\to \mathbb Z_k:\phi(\eta)=i$ si $\eta(\sqrt[k]{b})/\sqrt[k]{b}=w^i$ es un inyectiva homomorphism. Si $g$ es el polinomio mínimo de a$\sqrt[k]{b}$,$g(0)=\prod_{j\in G}{w^j\sqrt[k]{b}}=\sqrt[k]{b^{\deg(g)}}$, lo $g(0)\in F \iff \deg(g)=k$, lo $g=f$ $f$ es irreductible.
Deje $f=x^{4k}-3x^{3k}+4x^{2k}-2x^k+1$. Para demostrar $f$ es irreductible, es suficiente para mostrar $[K:\mathbb Q]=4k$ donde $K=\mathbb Q(\sqrt[k]{1+e^{2\pi i/5}})$. Mediante el uso de la torre lema que hemos $$[K:\mathbb Q]=[K:F][F:\mathbb Q]=4[K:F]\ (F=\mathbb Q(e^{2\pi i/5}))$$ so it is sufficient to show $[K:F]=k$ or $x^k-(1+e^{2\pi i/5})$ is irreducible over $F$. But $1+e^{2\pi i/5}$ hasn't any $n$th root in $F$, so by the lemma it is irreducible over $F(w)$, so over $F$.
