$\int\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\,\mathrm{d}x$ por sustitución

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente integral: $$\int\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\,\mathrm{d}x$$ Utilizando el método de sustitución con la sustitución de $u = \sin\left(x\right)$.

El ejercicio consta de dos partes: la primera es mediante la sustitución de $u = \cos\left(x\right)$. No hay problema. Estoy teniendo dificultades con la segunda parte, que es el uso de la sustitución de $u = \sin\left(x\right)$.

Pasé un par de horas con el ejercicio antes de preguntar aquí, y después de algunos ensayos, tengo esto: $$\int f\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\,\mathrm{d}x = \int f\left(u\right)\,\mathrm{d}u$$ $$g\left(x\right) = \sin\left(x\right)$$ $$g'\left(x\right) = \cos\left(x\right)$$ $$f\left(x\right) = \frac{x}{\cos^2\left(\arcsin(x)\right)} = \frac{x}{1 - x^2}$$ $$\int f\left(u\right)\,\mathrm{d}u = -\frac{1}{2}\log|1 - u^2| + C = -\frac{1}{2}\log|1 - \sin^2\left(x\right)| + C$$ $$1 - \sin^2\left(x\right) = \cos^2\left(x\right)$$ $$\int\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\log|\cos^2\left(x\right)| + C = -\log|\cos\left(x\right)| + C$$ Pero se siente demasiado complicado, $f\left(x\right)$ fue muy difícil para mí para descubrir. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

$\displaystyle \int\left(\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,\mathrm{d}x$

Como te has dado cuenta, es fácil dejar que $u = \cos (x)$, y eso es lo que yo recomendaría. Pero supongamos que no se como slick como estabas, pero todavía quería dejar $u = \sin (x)$. Entonces el problema viene de $du = \cos (x)$, que no está allí.

Pero $\dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{\cos x}{\cos^2 x}$, y la combinación de $u = \sin x$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, obtenemos que $\dfrac{\cos x }{\cos^2 x} = \dfrac{du}{1 - u^2}$.

Por lo tanto $\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx = \int \dfrac{udu}{1-u^2}$, que es lo que se llama $\int f(x)$.

Answer 2

Lo que hizo está bien. Uno puede ver como llevar a cabo el estándar de estrategia cuando tenemos un producto de enteros potencias de senos y cosenos, con al menos una de las potencias impares. En este caso, ambos poderes son impares.

Tenga en cuenta que $$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x\cos x}{\cos^2 x}=\frac{\sin x\cos x}{1-\sin^2 x}.$$

A continuación, la sustitución de $u=\sin x$ transforma nuestra parte integrante de $$\int \frac{u}{1-u^2}\,du.$$

Nota: Si tuviéramos en lugar de algo como $\int\frac{\sin^4 x}{\cos x}\,dx$, la misma estrategia de sustitución de $\sin x$ funcionaría. La sustitución de $u=\cos x$ sería menos atractivo.