La igualdad de un supremum de dos Expectativa

Question

Me quedé atrapado para demostrar una igualdad en una manera detallada y espero, alguien podría decir a mí, ¿cómo solucionarlo. Deje $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ser un espacio de probabilidad. Deje $\mathcal{K}$ ser el conjunto de todos los probabilidad de medida $Q$, que son absolutamente continua con respecto a $P$. Se nos da una r.v. $X$. Supongamos que hay un $N\in\mathbb{N}$ tal que para todos los $n\ge N$ hemos

$$\inf_{Q\in\mathcal{K}}Q(X\ge n)=0$$

Quiero verificar (en modo detallado) la siguiente igualdad:

$$\sup_{Q\in\mathcal{K}}E_Q[-(X\wedge n)]=\sup_{Q\in\mathcal{K}}E_Q[-(X\wedge N)]\ge -N$$

La desigualdad es evidente, puesto $-(a\wedge b)=-a\vee -b\ge -b,-a.$

Podemos reescribir la igualdad como:

$$\inf_{Q\in\mathcal{K}}E_Q[X\wedge n]=\inf_{Q\in\mathcal{K}}E_Q[X\wedge N]$$

Mi idea fue: $E_Q[X\wedge n]=E_Q[X\wedge n(\mathbf1_{X\ge n}+\mathbf1_{X< n})]=nQ(X\ge n)+E[(X\wedge n)\mathbf1_{X<n}]$. La inf sobre el primer término es cero, pero al final no me llego la HR. Entonces, ¿cómo puedo probar esto en una manera detallada? La igualdad se expresa en este documento, ver la prueba del Teorema 5.4 la dirección $3)\Rightarrow 1)$.

Answer 1

La igualdad no es cierto. Sólo hay que considerar $\mathcal{K}=\{P,Q\}$ (o su casco convexo, si quieres cumplir con los supuestos, en el papel), donde $P$ $Q$ son tales que $X$ $=$ $N-1$ una.s. en $P$, pero $E^Q[X]<(N-1)$$Q(X>N)>0$.

Entonces claramente $P(X \geq n)=0$ cualquier $n \geq N$, mientras que la \begin{align*}\inf_{\mathcal{K}} E[X \wedge (N+1)]=E^Q[X \wedge (N+1)]=&E^Q[X \wedge N + 1_{\{N<X\}}(X \wedge (N+1)-N)]\\>&E^Q[X \wedge N]=\inf_{\mathcal{K}} E[X \wedge N].\end{align*}