Es mi entendimiento de anillos cociente correcto?

Question

En medio de todo el riguroso de las construcciones del cociente de los anillos que implican las relaciones de equivalencia y de ideales, siento que por fin he comprendido lo que es un cociente de anillo. He aplicado esta intuición a un par de ejemplos y que han servido a mí también, pero me gustaría comprobar que esto es realmente el caso.

Si $R$ es un anillo y $I$ a un ideal, a continuación, $R/I$ es lo que tienes de sobra si usted mapa de todos los elementos de a $I$ a cero.

Así que va por ese $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{0, 1,2,3,...,n-1\}=\mathbb{Z}_n$$

También

$$\mathbb{R}[x]/x = \text{Constant polynomials}=\mathbb{R}$$

A mí me parece que el anillo cociente es siempre 'esconder' en el interior de la original anillo. Así, por ejemplo, $\mathbb{Z}_n \subset \mathbb{Z}$ o $\mathbb{R} \subset \mathbb{R}[x]$. Pero si tenemos en cuenta este isomorfismo

$$\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C}$$

Luego no parece funcionar. No puedo ver cómo $\mathbb{C}$ 'esconder' dentro de $\mathbb{R}[x]$. Era mi primera observación de sólo una coincidencia, y por lo tanto no se puede aplicar aquí? O estoy totalmente malentendido todo?

Answer 1

Hay una natural mapa de $\eta$ de los conjuntos de$\mathbb{C}$$\mathbb{R}[x]$: acaba de enviar $a+bi$$bx+a$. Ahora, este mapa es un homomorphism sobre el subyacente de aditivo grupos, pero multiplicatively tiene algunos problemas. Sin embargo, este es un sentido en el que $\mathbb{C}$ se encuentra dentro de $\mathbb{R}[x]$, y en realidad resulta ser la correcta: la "multiplicación de la maldad" de $\eta$ es asesinado por quotienting por $\langle x^2+1\rangle$.

Específicamente, la "multiplicación de la maldad" me refiero a que es el hecho de que $\eta(z_0\cdot z_1)\color{red}{\not=}\eta(z_0)\cdot \eta(z_1)$ en general. Por ejemplo, $$\eta(i\cdot i)=\eta(-1)=-1\color{red}{\not=}x^2=x\cdot x=\eta(i)\cdot \eta(i).$$ However, we have for all $z_0, z_1\in\mathbb{C}$ that $$x^2+1\mbox{ divides }\eta(z_0\cdot z_1)-(\eta(z_0)\cdot\eta(z_1)),$$ so - once we kill off $x^2+1$ - the natural way of fitting $\mathbb{C}$ inside $\mathbb{R}[x]$ realmente respeta la multiplicación!

---

OK, ahora, permítanme la onu-se encoge de todos los algebraists en la habitación. Lo que realmente está pasando aquí es que $\eta$ es una izquierda inversa de la composición del cociente mapa de $j: \mathbb{R}[x]\rightarrow\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$ con el isomorfismo $i: \mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle\rightarrow\mathbb{C}$. Es decir, hay muchos elementos de la $\mathbb{R}[x]$ $i\circ j$ se asigna a un determinado número complejo $z$; el mapa de $\eta$ elige un "canónica de representante".

En el ejemplo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, hay una realidad natural de manera de escoger un representante canónico, así que usualmente no se dan cuenta que lo hicimos. Por ejemplo, podríamos haber escogido el uso de $\{n, n+1, n+2, . . . , 2n-1\}$, excepto que eso es raro.

EDIT: Por cierto, esto se pone en su declaración "$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$" - aunque eso es falso, lo que es cierto es que el conjunto de la canónica de los representantes de los elementos de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un subconjunto de a $\mathbb{Z}$. Y esta es una verdad acerca de los cocientes: si $S=R/I$, entonces, por definición de cada elemento de $S$ "viene de" muchos elementos de $R$, y el acto de recolección canónica representantes cantidades para la definición de una adecuada inyección de conjuntos de $S$ a $R$. (Tenga en cuenta que es una muy mala costumbre de fingir que esto significa $S\subset R$ - en particular, la imagen de $S$ $R$ general no van a ser cerrado bajo las operaciones de $R$!)

Asimismo, para $\mathbb{R}[x]/\langle x\rangle$. En general, sin embargo, un poco de pensamiento debe ir a recoger canónica de representantes, y también en cómo encajan y se relacionan con el resto de los elementos de la original anillo. Por ejemplo, aquí es un buen ejercicio:

• $\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$ es isomorfo a $\mathbb{R}[x]/\langle x^2+2\rangle$.

• De hecho, cada uno de ellos tiene el mismo canónica de representantes - el lineal de los polinomios!

• Sin embargo, claramente algo diferente acerca de ellos, específicamente, el natural isomorphisms a $\mathbb{C}$ enviar $x$ a diferentes números complejos.

Las burlas de los detalles de este ejemplo, creo, va a ayudar a hacer este negocio con canónica representantes de una forma mucho más clara.

Answer 2

Otra pequeña aclaración: no sólo la asignación de evertyhing en $I$ a cero, está también la asignación de todo lo que NO se en $I$ a 'cualquiera que sea la parte que queda después de la asignación yo a cero'".

Ejemplo: Considere el$2x^2 + 3x + 3$$R[x]$. Mapa $I$ = <$x^2 + 1$> a cero, entonces este elemento es $2(x^2 + 1) + x + 3$, y lo que queda de ella después de la asignación de $I$ a cero es, por supuesto,$x + 3$.

Answer 3

Para cualquier estructura algebraica (de grupo, anillo, espacio vectorial, etc.) cuando se forma un cociente de la estructura tomando cosets, es tautológica de que usted puede encontrar los elementos de la estructura original, que sirven como etiquetas para el cociente de la estructura (por ejemplo, $\mathbf Z/n\mathbf Z$ puede ser representado por $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ ${\mathbf R}[x]/(x^2+1)$ puede ser representado por polinomios $\{a+bx : a, b \in \mathbf R\}$$\mathbf R[x]$), pero esto es totalmente ausentes el punto: la estructura del cociente a menudo no se refleja en la forma en la que las etiquetas (coset representantes) se comportan de manera algebraica dentro de la estructura original.

Por ejemplo, $\mathbf Z/5\mathbf Z$ es un anillo, incluso un campo, pero el conjunto de $\{0,1,2,3,4\}$ es no un sub-anillo (o un subcampo) de $\mathbf Z$. No hay opción de coset representantes podría ser un sub-anillo desde $\mathbf Z$ no tiene finita subrings. Incluso si usted trata a $\mathbf Z$ sólo como un aditivo grupo, y $\mathbf Z/5\mathbf Z$ como un aditivo cociente de grupo, usted no puede encontrar coset representantes en $\mathbf Z$ que forman un subgrupo de $\mathbf Z$: no hay elementos finitos de orden en $\mathbf Z$ además de 0.

En el caso de $\mathbf R[x]/(x^2+1)$, el coset representantes de $a+bx$ son un aditivo grupo en $\mathbf R[x]$ pero no cerrado bajo la multiplicación. No hay sub-anillo de $\mathbf R[x]$ que se ve como el cociente del anillo de $\mathbf R[x]/(x^2+1)$, que es un campo, por ejemplo, cualquier subcampo de $\mathbf R[x]$ está dentro de $\mathbf R$. En el anillo cociente $\mathbf R[x]/(x^2)$ hay un elemento distinto de cero cuyo cuadrado es igual a cero (la identidad aditiva), pero que no existe ningún elemento en el ring $\mathbf R[x]$ sí.

En la configuración de grupos finitos, el grupo de cuaterniones $Q_8$ a (normal) subgrupo $\{\pm 1\}$ para que el cociente grupo $Q_8/\{\pm 1\}$ orden $4$, pero $Q_8$ no tiene subgrupos de orden $4$ que es isomorfo a un cociente de grupo, ya que el cociente de grupo no es cíclica, mientras que cada subgrupo de orden $4$ $Q_8$ es cíclico.

Usted necesita aprender a abrazar la nueva estructura que se encuentra en el cociente de construcciones sin intentar calzador de ellos todo el tiempo en la más elemental idea de una subestructura de la original estructura algebraica. Eso es un paso importante en la obtención de la madurez acerca de lo que el cociente de las construcciones. (Históricamente, se llevó a los matemáticos momento para tomar este paso. Véase la respuesta a la Que denomina "Coeficiente de grupos"? donde se menciona que Camille Jordan, que presentó el cociente de los grupos, el pensamiento de ellos como nuevo grupo de leyes en una de las opciones de coset representantes.) Esto también te hace apreciar mejor las situaciones cuando se puede identificar el cociente de la estructura (no meramente como un conjunto, pero con todas las operaciones algebraicas, también!) con una subestructura de usar bien elegido coset representantes.

Answer 4

Mientras que el cociente de los anillos se construyen a partir de $R$, no es siempre cierto que el cociente del anillo "se esconde dentro de $R$" en el sentido de que el cociente del anillo es isomorfo a un sub-anillo de la original anillo así que esto no es una buena intuición para celebrar. Siempre puedes coger un representante de cada clase de equivalencia e identificar el cociente del anillo con un subconjunto de a$R$, pero la adición o multiplicación entre los elementos de este subconjunto considerado como elementos en el anillo cociente será diferente a partir de la adición o multiplicación entre los elementos de este subconjunto considerado como elementos en el original anillo.

Por ejemplo, el cociente del anillo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ se compone de clases de equivalencia $[n]$ de los enteros $\mod n$. Si lo desea, puede arbitrario elegir un único representante - por ejemplo, $0 \leq k < n$ - a partir de cada clase de equivalencia y, a continuación, identificar las $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ con el conjunto de $\{0, 1, \dots, n - 1\} = \mathbb{Z}_n$ que es un subconjunto de la original anillo de $\mathbb{Z}$, pero este conjunto no es un sub-anillo (ni un subgrupo) de $\mathbb{Z}$ ya que no es cerrado bajo la original adición o multiplicación.

Algo similar sucede con la $\mathbb{R}[x] / (x^2 + 1)$. Si usted elige para cada clase de equivalencia de un único representante de $a + bx$ luego de obtener un subconjunto de a $\mathbb{R}[x]$ es un subgrupo, pero no un sub-anillo. La adición aquí juega bien, pero la multiplicación no. En $\mathbb{R}[x]$ tenemos $(a + bx)(c + dx) = ac + (ad + bc)x + (bd) x^2$ y este no radica en el subconjunto así que usted no consigue un sub-anillo. La multiplicación $(a + bx)(c + dx)$ en el cociente resultados en $(ac - bd + (ad + bc)x)$.

A veces, sucede que el cociente del anillo es isomorfo a un sub-anillo de la original anillo de tal manera que usted puede elegir a sus representantes y obtener un isomorfo sub-anillo. Esto sucede con $\mathbb{R}[x] / (x)$ donde si usted elige a los representantes de cada clase de equivalencia a ser la constante de polinomios, entonces de verdad se obtiene no sólo un subconjunto pero un sub-anillo (tiene cierre bajo la multiplicación) que es isomorfo al cociente del anillo. Sin embargo, si a usted le han elegido a los representantes de otra manera, esto no tendría que ser necesariamente el caso.