Número de soluciones reales de la ecuación de $1+8^x+27^x = 2^x+12^x+9^x$

Question

Encontrar el número de soluciones reales $x\in\mathbb{R}$ de la ecuación $$ 1+8^x+27^x = 2^x+12^x+9^x $$

Mi Intento:

Deje $2^x=a>0$ $3^x=b>0$ donde $x\in \mathbb{R}$. Esto nos permite cambiar la ecuación para

$$ 1+a^3+b^3 = a+a^2b+b^2 $$

Esto puede escribirse como

$$ (a+b)^3-3ab(a+b)+1 = a+ab(a+b) $$

¿Cómo puedo solucionar el problema a partir de este punto?

Answer 1

Sugerencia: por un reordenamiento de la desigualdad

$$a^3+b^3+c^3 = a^2b+b^2c+c^2a$$

sucede iff $a=b=c$.

Answer 2

Un método diferente. Definir:

$$f(a,b)= 1 + a^3 + b^3 - (a + a^2 b + b^2)$$ Mostrar mediante la resolución de $f'_a = f'_b=0$ que el mínimo de$f$$a=b=1$,$f(1,1)=0$, lo que demuestra que hay una sola solución, $x=0$.