Dejemos que $U$ sea un conjunto definido: $U=\{(x,y)\in \Bbb R^2\mid x^2+y^2=1; xy\neq 0\}$ y que $R$ ser la relación definida: $(x_1,y_1)R(x_2,y_2) \iff (x_1 \cdot x_2>0y_1\cdot y_2>0)$ .
Tenía que demostrar que es una relación de equivalencia, y lo hice. Luego me pidieron que mostrara sus clases de equivalencia. Por lo tanto, no entiendo realmente lo que es, y no entiendo cómo escribirlo con la notación adecuada.
Gracias por cualquier ayuda.
edit: ¡Perdón por todos los errores tipográficos!
Las clases de equivalencia de $R$ son los conjuntos $C_i$ tal que $a,b\in C_i \implies aRb$ . Otra forma de pensar en esto es tomar un solo miembro "representativo $c_i$ de cada clase, y luego $C_i \equiv [c_i] = \{a: c_iRa\}$ el conjunto de todas las cosas relacionadas con $c_i$ .
Empecemos por elegir $c_1=(1/\sqrt 2,1/\sqrt 2)$ en la parte superior derecha del círculo. Asumiendo que la condición es el producto de la $x$ coordenadas entre sí es positiva y, de forma similar, la $y$ coordenadas: $c_1R(x,y) \iff x>0 \text{ and } y>0$ . Por lo tanto, $C_1 = \text{part of circle in top right quadrant} $ . ¿Puedes encontrar las otras clases? Sólo tienes que elegir los puntos que aún no has puesto en una clase.
Sugerencia : Dicho de otro modo, suponiendo que Git Gud tenga razón sobre la errata, $(x_1,y_1)\:R\:(x_2,y_2)$ si y sólo si $x_1,x_2$ tienen el mismo signo y $y_1,y_2$ tienen el mismo signo. Esto debería dividir fácilmente $U$ (los puntos del círculo unitario que no están en los ejes de coordenadas) en $4$ clases de equivalencia.
Piensa en las clases de equivalencia como subconjuntos de $U$ que se compone de elementos que son todos equivalentes entre sí. El hecho de que $R$ es una relación de equivalencia garantiza que las clases de equivalencia se dividirán $U$ es decir, cada elemento de $U$ pertenecerá exactamente a una clase de equivalencia.
$U$ es el círculo unitario con sus intersecciones con los ejes de coordenadas eliminadas. Consideremos un punto de $U$ que se encuentra en el primer cuadrante, $(x,y)$ . Por la relación de equivalencia, deberías ser capaz de demostrar que otro punto en $U$ , digamos que $(x',y')$ equivale a $(x,y)$ si y sólo si $(x',y')$ también está en el primer cuadrante. Esto demuestra que los puntos de $U$ en el primer cuadrante forman una clase de equivalencia.
Intenta seguir una línea de pensamiento similar para los otros cuadrantes.
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