Identidad para $e$ en términos de la secuencia de Fibonacci.

Question

La siguiente identidad aparece en el artículo de Martin Gardner, "Dr. Matrix on Little Known Fibonacci Curiosities":

$$e = \frac{1 + 1 + \frac{2}{2!} + \frac{3}{3!} + \frac{5}{4!} + \frac{8}{5!} + \frac{13}{6!} + \frac{21}{7!} + \frac{34}{8!} + \frac{55}{9!} + \cdots}{1 + 0 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{2}{4!} + \frac{3}{5!} + \frac{5}{6!} + \frac{8}{7!} + \frac{13}{8!} + \frac{21}{9!} + \cdots} $$

¿Cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

La forma correcta de esta expresión parece ser: $$e=\frac{1+1+\frac{2}{2!}+\frac{3}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{8}{5!}+\frac{13}{6!}+\ldots}{1-0+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}-\frac{3}{5!}+\frac{5}{6!}-\ldots} = \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{F_{k+1}}{k!}}{\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{F_{k-1}}{k!}}$$

Hay dos observaciones útiles que pueden utilizarse para demostrar esta afirmación:

• $\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}=e^x$ (la definición de $e^x$ )
• $F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{{\varphi-\psi}}$ , donde $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $\psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (el Fórmula de Euler-Binet )

¡Ahora ya tenemos todo listo para la prueba! $$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{F_{k+1}}{k!} & = & \frac{1}{\varphi-\psi}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\varphi^{k+1}-\psi^{k+1}}{k!} \\ & = & \frac{1}{\varphi-\psi}\left(\varphi\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\varphi^k}{k!}-\psi\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\psi^k}{k!}\right) \\ & = & \frac{1}{\varphi-\psi}\left(\varphi e^\varphi - \psi e^\psi\right) \\ \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{F_{k-1}}{k!} & = & \frac{1}{\varphi-\psi}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\varphi^{k-1}-(-1)^k\psi^{k-1}}{k!} \\ & = & \frac{1}{\varphi-\psi}\left( \frac{1}{\varphi}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\varphi)^k}{k!} - \frac{1}{\psi}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\psi)^k}{k!}\right) \\ & = & \frac{1}{\varphi-\psi}\left(\frac{1}{\varphi} e^{-\varphi} - \frac{1}{\psi} e^{-\psi}\right) \\ \end{eqnarray}$$

Dividiendo estos dos resultados: $$\frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{F_{k+1}}{k!}}{\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{F_{k-1}}{k!}} = \frac{\varphi e^\varphi - \psi e^\psi}{ \frac{1}{\varphi} e^{-\varphi} - \frac{1}{\psi} e^{-\psi} }$$

Desde $\varphi + \psi = 1$ y $\varphi\psi = -1$ Esto se puede simplificar como $$\frac{\varphi e^\varphi - \psi e^\psi}{ \frac{1}{\varphi} e^{-\varphi} - \frac{1}{\psi} e^{-\psi} } = \frac{\varphi e^\varphi - \psi e^\psi}{ e^{-1}\left(\varphi e^{\varphi} - \psi e^{\psi}\right)} = e$$

Q.E.D.