Una pregunta relacionada con el juego de cartas "Set"

Question

La tarjeta de juego de Conjunto conducen a la siguiente pregunta. Permite llamar a un subconjunto $A$ $(\mathbb{Z}/3)^n$ dependiente, si no es$\{x,y,z\}\subset A$$x+y+z=0$. (Pues a diferencia del caso de dependencia lineal no estamos permitiendo que cualquier coeficientes de aquí).

Deje $f(n)$ indicar el tamaño máximo de un subconjunto independiente de $(\mathbb{Z}/3)^n$. Hay una expresión explícita / una recursividad para $f(n)$? Puede algo ser dicho acerca de su comportamiento asintótico (como $f\in O(c^n)$ para un mínimo de $c$)?

Como $\{0;1\}^n$ es independiente, sabemos que $f(n)\ge 2^n$. Y por lo $c\ge 2$. La tarjeta de juego se aborda el caso de $n=4$ $f(4)=20$ si no recuerdo mal.

Answer 1

Basado en esta presentación (PPT; Google basada en la conversión de HTML), creo que una fórmula para el $f(n)$ es: $$f(n)=\begin{cases} \frac{2^{n+2}-4}{3} & \text{ if }n\text{ is even} \\ \frac{2^{n+2}-5}{3} & \text{ if }n>1\text{ is odd} \end{casos}$$