Cómo encontrar un límite de esta sucesión?

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

Deje que las secuencias $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ se define como $$a_n=\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{3n} x \;dx,\qquad b_n=\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2n}x \cos^nx\;dx.$$ Encontrar
$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n}\left(\frac{(2n)!\, a_n}{n!\, b_n} \right)^ {1/n}.$$

Answer 1

Tenga en cuenta que, podemos evaluar la $a_n$ $b_n$ explícitamente el uso de la función beta

$$\beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}, \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0 \!$$

como

$$a_n= \frac{1}{2}\,{\frac {\sqrt {\pi }\Gamma \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\n \right) }{\Gamma \left( 1+\frac{3}{2}n \right) }}$$

y

$$b_n = \frac{1}{2}\,{\frac {\Gamma \left( \frac{1}{2}n+\frac{1}{2} \right) \Gamma\left( n+\frac{1}{2}\right) }{\Gamma \left( 1+\frac{3}{2}n \right) }}.$$

Para evaluar el límite, primero escribe el límite de

$$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(2n)!\, a_n}{2^n n^n n!\, b_n} \right)^{1/n},$$

a continuación, utilice el resultado

$$\lim_{n \to \infty} c^{\frac{1}{n}}_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}.$$

para evaluar el límite. Aquí está el resultado final

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n}\left(\frac{(2n)!\, a_n}{n!\, b_n} \right)^{1/n} = \frac{3}{2}\,{{\rm e}^{-1}}\sqrt {6}\sqrt {2}.$$

Nota: $$n! = \Gamma(n+1).$$