Demostrar que un entero palindrómico con un número par de dígitos es divisible por 11

Question

Estoy en un curso de introducción a la matemática discreta por lo que soy un novato en las pruebas en inglés. No estoy seguro de si mi razonamiento aquí es válido o si estoy usando la aritmética modular correctamente. Específicamente la línea que marqué con $(**)$ . Agradecería cualquier comentario. Lo siento si alguna parte de la prueba parece obvia generalmente se espera que deletrear todo.

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Objetivo: Demostrar que todo entero palindrómico con un número par de dígitos es divisible por $11$ .

Prueba:

Consideremos un entero palindrómico $p$ en forma de $x_{1} x_{2} …. x_{n-1}x_{n}x_{n}x_{n-1}...x_{2}x_{1}$ donde $p$ tiene $2n$ dígitos. Esto se puede ampliar como:

$$x_{1} + x_{2}\cdot10 + … + x_{n}\cdot10^{n} + x_{n}\cdot10^{n+1} + … + x_{2}\cdot10^{2n} + x_{1}\cdot10^{2n+1}$$

$(**)$ $10 \equiv -1 \pmod{11}$ por lo que si tomamos $\pmod{11}$ de la expresión podemos sustituir $10\equiv -1$ .

$$x_{1} + x_{2}\cdot(-1) + … + x_{n}\cdot(-1)^{n} + x_{n}\cdot(-1)^{n+1} + … + x_{2}\cdot(-1)_{2n} + x_{1}\cdot(-1)^{2n+1}$$

Como sabemos $2n$ es par (y por tanto $2n + 1$ es impar), y $(-1)^{a} = 1$ cuando $a$ es par y $= -1$ cuando $a$ es impar podemos reescribir la expresión como

$$x_{1} - x_{2} + … + x_{n} - x_{n} + … + x_{2} - x_{1} = 0$$

Por lo tanto, ya que $p \equiv 0 \pmod{11}$ tenemos que $11$ divide $p$ .

Answer 1

Tienes algunos errores de bulto, pero tienes la idea correcta. Tenga en cuenta que: \begin {align*} p &= (x_1 + x_2 10 + \cdots + x_n 10^{n-1}) + (x_{n} 10^n + x_{n-1} 10^{n+1} + \cdots + x_1 10^{2n - 1}) \\ &= \sum_ {k=1}^n x_k 10^{k-1} + \sum_ {k=1}^n x_k 10^{2n-k} \\ &= \sum_ {k=1}^n x_k10^{k-1}(1 + 10^{2n - 2k - 1}) \\ & \equiv \sum_ {k=1}^n x_k10^{k-1}(1 + (-1)^{2n - 2k - 1}) \pmod {11} \qquad\qquad\text {desde $10 \equiv -1 \pmod{11}$ } \\ & \equiv \sum_ {k=1}^n x_k10^{k-1}(1 -1) \pmod {11} ~~~~~~~ \qquad\qquad\text {desde $2n - 2k - 1$ es impar} \\ & \equiv 0 \pmod {11} \end {align*}

Answer 2

Por supuesto, una prueba es una prueba, y las cuestiones de estilo de las pruebas son, hasta cierto punto, una cuestión de gusto personal. pero cuando se tiene una idea válida de la prueba, a menudo se puede aprender algo buscando si la exposición puede mejorarse o, incluso si no parece posible ninguna mejora, se puede aumentar la comprensión encontrando una ruta alternativa hacia el mismo objetivo. a menudo se pueden encontrar buenas pistas centrándose en cualquier parte del argumento que requiera más esfuerzo mental.

A veces, la idea más compleja puede tratarse en uno o dos lemas "más duros", de los que, una vez demostrados, se deduce todo con bastante facilidad:

LEMA 1 para números enteros positivos $k,n$ con $k \le 2n$ $$ 10^{k-1} + 10^{2n-k} \equiv_{11} 0 $$ Prueba desde $10 \equiv_{11} -1$ tenemos $$ 10^{k-1} + 10^{2n-k} \equiv_{11} (-1)^{k-1}+(-1)^{2n-k} \equiv_{11} (-1)^{k-1}+(-1)^{-k} = 0 $$ LEMA 2 cualquier número entero palindrómico $M$ con un número par $(2n)$ de dígitos puede escribirse como $$ M = \sum_{k=1}^n (10^{k-1} + 10^{2n-k})d_k $$ donde el $d_k$ son números enteros $0 \le d_k \le 9$

Answer 3

Creo que vale la pena mencionar la (primera) regla de divisibilidad por 11 dada en https://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule .

Ya que se da que $n$ es palindrómico con un número par de dígitos, es inmediatamente que la secuencia de números en las posiciones Impares es una inversión de la secuencia de números en las posiciones pares. Dada la regla de wikipedia, esto (también) hace que la conclusión sea inmediata.

Por supuesto, esto plantea la cuestión de si el problema permite suponer que la regla de la wikipedia es exacta, o si esta regla necesita (primero) ser probada.