el teorema de pitágoras para $L_p$ espacios

Question

Consideremos $L_2(\mathbb{R}^n)$. Deje $Y$ ser no vacío, cerrado subespacio de $L_2(\mathbb{R}^n)$.

Deje $x\notin Y$. Deje $y^*$ es la mejor aproximación de $x$$Y$, es decir, $\|x-y^*\|_2=\inf_{y\in Y}\|x-y\|_2$.

Sabemos entonces que, $x-y^*$ sería ortogonal a $Y$ y, por tanto, de paralelogramo de la ley, se puede deducir el teorema de pitágoras: $$\|x-y\|_2^2=\|x-y^*\|_2^2+\|y^*-y\|_2^2 \text{ for } y\in Y$$

Me pregunto si el mismo tipo de resultado sería verdadero para $L_p(\mathbb{R}^n)$, $p\ge 1$, $p\neq 2$ también, es decir, si $$\|x-y\|_p^p=\|x-y^*\|_p^p+\|y^*-y\|_p^p $$

Creo que no es posible deducir, a partir de la ley del paralelogramo como sólo tenemos la desigualdad en el paralelogramo de la ley en $L_p(\mathbb{R}^n)$ y no hay ninguna noción de ortogonalidad en $L_p(\mathbb{R}^n)$$p\neq 2$. Pero creo que puede haber alguna otra manera de obtener el resultado. Al menos mencionar algunos de referencia es de agradecer.

Answer 1

La afirmación es falsa.

Primera nota de que $\mathbb{R}^n$ $p$- norma incrusta en $\mathcal{L}^p(\mathbb{R}^n)$: sólo el mapa de la unidad de vectores para indicador de funciones de cualquiera de los $n$ distintos conjuntos de unidad de masa. También, finito-dimensional subespacios son siempre cerradas. Por lo tanto una condición necesaria para que la instrucción es que se tiene para los subespacios $Y$ $\mathbb{R}^n$ $p$- norma.

Tomar $Y=\{(x,x),x\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$, $x=(0,2)$, y $1<p<\infty$. Para cualquier $y\in Y$ definir $\hat{y} = (2,2) - y$. A continuación,$\lVert x-\hat{y}\rVert_p = \lVert x-y\rVert_p$. Por lo tanto $\frac{y+\hat{y}}{2}=(1,1)$ es el promedio de dos puntos en el límite de la $p$-bola de radio $\lVert x-y\rVert_p>0$ centrada en $x$. Todos los que no son triviales $p$-bolas son estrictamente convexas, por lo $(1,1)$ es estrictamente más cerca de $x$ $y$ es menos que $y = \hat{y} = (1,1)$. Por lo tanto,$y^* = (1,1)$. En $y=0\in Y$ la ecuación de haber escrito se reduce a $\frac{4}{2^p}=1$, por lo que sólo puede sostener por $p=2$.

Este ejemplo es un poco problemático en la $p=1$ porque $p$-bolas no son estrictamente convexas y no existe un único minimizer $y^*$. Sin embargo, el cambio de a $Y=\{(x,2x)\vert x\in\mathbb{R}\}$ da un único minimizer y deseada de la ecuación de nuevo no lleva a cabo.