Demostrar $\Pi_{k=1}^\infty(1+q^k)=\Pi_{k=1}^\infty\frac{1}{(1-q^{(2k-1)})}$ son equivalentes generación de la serie.

Question

Demostrar $\Pi_{k=1}^\infty(1+q^k)=\Pi_{k=1}^\infty\frac{1}{(1-q^{(2k-1)})}$ son equivalentes generación de la serie mediante una combinatoria de la prueba.

El lado izquierdo de la ecuación es la generación de una serie de particiones en partes diferentes que aparecen sólo una vez.

El lado derecho es similar a la ecuación para la generación de series para todas las particiones que es $\Pi_{k=1}^\infty\frac{1}{1-q^k}$. En el original de la generación de la serie, el exponente de $q$ tendría los siguientes valores de $\{1,2,3,4,\dots \}$. Sin embargo, cuando vamos a reemplazar el exponente en la ecuación que estamos tratando de demostrar, que toma los valores de $\{1,3,5,7,\dots \}$. La parte que no puedo entender es cómo este pequeño cambio hace que estos equivalente con una explicación.

Answer 1

Se sabe que el número de particiones de un entero en distintas partes (LHS) es igual al número de particiones en impar de piezas (RHS).
Para las diversas maneras de probar, ver, por ejemplo, esta excelente conferencia, donde en la pag. 9 y 10 de estos dos enfoques son siempre, que voy a resumir aquí.

1. la conversión de la junta.g.f. $$ \begin{gathered} \text{o}\text{.g}\text{.f}\text{.}\;\text{DISTINCT} = \left( {1 + x} \right)\left( {1 + x^{\,2} } \right)\left( {1 + x^{\,3} } \right) \cdots = \hfill \\ = \frac{{\left( {1 - x^{\,2} } \right)}} {{\left( {1 - x} \right)}}\frac{{\left( {1 - x^{\,4} } \right)}} {{\left( {1 - x^{\,2} } \right)}}\frac{{\left( {1 - x^{\,6} } \right)}} {{\left( {1 - x^{\,3} } \right)}} \cdots = \hfill \\ = \frac{1} {{\left( {1 - x} \right)}}\frac{1} {{\left( {1 - x^{\,3} } \right)}}\frac{1} {{\left( {1 - x^{\,5} } \right)}} \cdots = \text{o}\text{.g}\text{.f}\text{.}\;\text{ODD} \hfill \\ \end{reunieron} $$
2. Bi-jective correspondencia
   Dada una partición de $n$ en partes distintas (es decir, la suma de los estrictamente disminución de la secuencia) $$ n = d_{\,1} + d_{\,2} + \cdots + d_{\,m} $$ Teniendo en cuenta que cada número entero puede unívocamente ser escrito como una potencia de $2$ (incl. $2^0$) multiplicado por un número entero impar (factoring de menos significativos $0$s en la representación binaria), por lo que $$ n = 2^{\,\alpha _{\,1} } O_{\,1} + 2^{\,\alpha _{\,2} } O_{\,2} + \cdots + 2^{\,\alpha _{\,m} } O_{\,m} $$ donde el $O_j$ son números impares, posiblemente repetidos (pero en ese caso con diferentes $\alpha_j$).
   Podemos entonces el grupo de los diferentes valores de los números impares, como $$ \begin{gathered} n = \left( {0 + 2^{\,\alpha _{\,1,1} } + 2^{\,\alpha _{\,1,2} } + \cdots } \right)1 + \left( {0 + 2^{\,\alpha _{\,2,1} } + 2^{\,\alpha _{\,2,2} } + \cdots } \right)3 + \left( {0 + 2^{\,\alpha _{\,q,1} } + 2^{\,\alpha _{\,q,2} } + \cdots } \right)5 + \cdots \quad \left| {\;\alpha _{\,q,j} \ne \alpha _{\,q,k} } \right. = \hfill \\ = \mu _{\,1} 1 + \mu _{\,3} 3 + \mu _{\,5} 5 + \cdots \hfill \\ \end{reunieron} $$ Por lo tanto, cada partición en partes diferentes que se pueden hacer corresponder bijectively a la representación binaria de la $\mu$ vector, por lo tanto a una partición en pares de piezas (repetición).

Answer 2

Sugerencia: Esta no es la combinatoria, pero aviso que $$ 1+q^k=\frac{1-p^{2k}}{1-p^k} $$ Tomar el producto y cancelar.

Answer 3

(todo converge absolutamente en la unidad de disco) $$\prod_{m=0}^\infty (1+z^{2^m})= \sum_{n=0}^\infty z^n = \frac{1}{1-z}$$

$$\prod_{k= 1}^\infty \frac{1}{1-q^{2k-1}} = \prod_{m\ge0,k\ge 1} (1+q^{2^m (2k-1)}) = \prod_{k = 1}^\infty (1+q^k)$$