La convergencia en el Cuadro de Topología.

Question

Dada la secuencia en $\mathbb{R}^\omega$: $$y_1=(1,0,0,0\ldots), y_2=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\ldots), y_3=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,\ldots),\ldots$$ Sé que converge en la topología producto porque converge pointwise a $(0,0,\ldots).$ sé que converge en el uniforme de la topología, ya que converge a $(0,0,\ldots)$ uniformemente. ¿Cómo puedo determinar si es o no esta secuencia converge en el cuadro de topología?

Answer 1

Vamos $$U=\prod_{n\ge 2}\left(-\frac1n,\frac1n\right)\;.$$ Clearly $U$ is an open nbhd of $\langle 0,0,0,\dots\rangle$; does it contain a tail of the sequence $\langle y_n:n\in\Bbb Z^+\rangle$?