Dos Sylow $p$-subgrupos con la misma imagen se conjugado por un elemento del núcleo

Question

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio, que, a juzgar por su posición en el libro, debe seguir más o menos directamente de los teoremas de Sylow.

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Deje $G,G'$ dos grupos finitos y $\phi$ un homomorphism de $G$ a $G'$. Deje $p$ ser un primer número y $P,P_1$ dos Sylow $p$-subgrupos de $G$ tal que $\phi(P)=\phi(P_1)$. Demostrar que no existe $x\in\text{Ker}(\phi)$ tal que $P=xP_1x^{-1}$.

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Bien, yo sé que no existe $y\in G$ tal que $P=yP_1y^{-1}$ y es fácil ver que el conjunto de $x$ tal que $P=xP_1x^{-1}$$yN_G(P_1)$. Así que tenemos que mostrar $$yN_G(P_1)\cap\text{Ker}(\phi)\neq\emptyset.$$

Pero ¿y ahora qué? Una sugerencia sería la mayoría de la recepción.

Answer 1

Sugerencia: Recordar que si $N\unlhd G$$K\le G$, entonces el conjunto de productos de $NK=\{nk\mid n\in N, k\in K\}$ es también un subgrupo de $G$. La condición de $\phi(P)=\phi(P')$ significa que los subgrupos $(\ker\phi) P$ $(\ker\phi) P'$ son iguales. Deje $H$ ser que el subgrupo de $G$. ¿Qué hacen los teoremas de Sylow de informarle acerca de la Sylow $p$-subgrupos de $H$? Puede usted una lista de algunos de los?