La historia de los términos "prime" y "irreductible" en el Anillo de la Teoría.

Question

En el anillo de la teoría, de un valor distinto de cero, nonunit elemento $p$ de la integral de dominio se llama irreducible si $p=ab$ implica que exactamente uno de $a$ $b$ es una unidad, y se llama prime si $p\mid ab$ implica que el $p\mid a$ o $p\mid b$, o, equivalentemente, si el director ideal generado por a $p$ es un alojamiento ideal.

Supongo que la idea de un primer número (entero) existían antes de anillo teoría fue desarrollada. La definición habitual de un número primo es un entero positivo con exactamente dos factores positivos , $1$ y el sí mismo. Esto es equivalente a la definición de "irreductible." También resulta que, desde el $\mathbb Z$ es un UFD, cada irreducible es primo y cada distinto de cero prime es irreducible. Pero desde la definición habitual de un primer entero es lo que nosotros llamamos "irreductibles," ¿por qué no irreductible elementos llamados elementos principales? ¿Por qué se decidió la divisibilidad de la propiedad fue una propiedad intrínseca de "primeness" de irreductibilidad?

Answer 1

Yo no soy un experto en la historia del anillo de la teoría, pero este es, creo, bastante cercano a una respuesta correcta:

Tienes razón en que la noción de "primer número entero" es anterior a la más general de las nociones de "primer elemento" y "irreductible elemento" en un anillo arbitrario. De hecho, los números primos se remontan a la antigua Grecia! Pero hay un eslabón perdido en la evolución de la idea original en el (dos diferentes) las nociones modernas: es decir, la noción de un primer ideal.

Ideales eran considerados como una especie de "generalizada número"; de hecho, el original de la terminología del "número ideal", más tarde acortado a "ideal". Ideal $I$ se dijo a brecha otro ideal $J$ si y sólo si $J \subset I$. Un alojamiento ideal se define, en una analogía con el "clásico" de la definición de los números primos (es decir, como indecomposables) a ser un ideal que no es divisible por ideales distinto de sí mismo y de los anillos de enteros.

Una vez que "el primer ideal" fue definido, el siguiente desarrollo fue para decir que un elemento , fue el primer si se genera un primer ideal. Es bastante sencillo ejercicio para demostrar que esto se traduce directamente a la moderna definición del primer elemento. También es bastante fácil demostrar que (siempre y cuando no hay ningún cero divisores en el anillo) cada primer elemento es indecomposable en el sentido clásico. Así que todo encaja bastante bien.

Es sólo en este punto en que alguien comienza a mirar los anillos como $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, que no son exclusivos de la factorización de dominios, y se da cuenta de que los anillos pueden contener elementos que son indecomposable en el sentido clásico, pero no generar primer ideales. Whoah! Así que necesitamos un nombre para esos tipos de elementos. "Prime" ya está tomada, por lo que ellos llaman "irreductible".

Así que ahí lo tienen. Los elementos que ahora se llama "elementos irreductibles", a pesar del hecho de que tienen la propiedad que normalmente asociamos con "los números primos", no eran llamados "los mejores elementos", porque esa palabra ya estaba en el uso de elementos que generan "el primer ideales", que se define en analogía directa con la forma en que "normalmente" definir los números primos.