Dejemos que $G$ sea un grupo. La inversa de $(g\cdot h)=h^{-1}\cdot g^{-1}$ con $g, h \in G$ .

Question

Si esto es obvio y una pregunta tonta, lo siento. Como parte de un ejercicio, tuve que ver que la inversa de $(g\cdot h)$ con $g$ y $h$ en un grupo $G$ es $h^{-1}\cdot g^{-1}$ . Lo probé de esta manera:

Dejemos que $e$ sea el elemento neutro en $G$ :

\begin {Edición} (g \cdot h)^{-1} \cdot (g \cdot h)= e \\ \Downarrow \\ (g \cdot h)^{-1} \cdot (g \cdot h) \cdot h^{-1}= e \cdot h^{-1} \\ \Downarrow\\ (g \cdot h)^{-1} \cdot g \cdot (h \cdot h^{-1})= e \cdot h^{-1} \\ \Downarrow\\ (g \cdot h)^{-1} \cdot g \cdot e= h^{-1} \\ \Downarrow \\ (g \cdot h)^{-1} \cdot g \cdot g^{-1}= h^{-1} \cdot g^{-1} \\ \Downarrow \\ (g \cdot h)^{-1} = h^{-1} \cdot g^{-1} \end {Ecuación}

¿Es una prueba correcta? ¿Puedo multiplicar la ecuación con elementos de $G$ ¿en ambos lados? Gracias.

Answer 1

Una prueba más sencilla es: $(gh)(h^{-1}g^{-1}) = g(h h^{-1})g^{-1} = g g^{-1}=e$ y de manera similar, $(h^{-1}g^{-1})(gh)=e$ . Por lo tanto, $(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$ .