$\dfrac{(x-1)(x+1)}{ (x+1)} \rightarrow (x-1)$ Cambio De Dominio

Question

Perdonar mi ignorancia. El de abajo parece 'inconsistente'. Si la cancelación de la $(x+1)$ es 'legal', ¿cómo funciona el cambio de dominio? Me doy cuenta de que lo hace, pero ¿podría alguien ser tan amable de dar una explicación?

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$$ \frac{x^2 - 1}{x + 1} \mbox{ is undefined when } x = -1 $$

Su dominio (los valores que puede ir en la expresión) no incluye a $ -1 $.

Ahora, podemos factor de $ x^2 - 1 $ a $ (x - 1)(x + 1) $, por lo que obtenemos:

$$ \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)} $$

Ahora es tentador para cancelar $ (x + 1) $ desde la parte superior y la parte inferior para producir:

$$ x - 1 $$

$$ \mbox{Its domain now } \textbf{does} \mbox{ include } -1 \mbox{.} $$

Pero es ahora una función diferente porque tiene un dominio diferente.

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Gracias!

Answer 1

La función de $f$ dada por $$ f(x):=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} $$ con valores en $\mathbb{R}$ no puede ser definido en $x:=-1$ (debido a que el denominador se $0$). Por lo tanto el dominio de $f$ es en la mayoría de las $\mathbb{R}\backslash\{-1\}$.

La función de $g$ dada por $$ g(x):=x-1 $$ con valores en $\mathbb{R}$ se define para cada $x\in\mathbb{R}$, por lo que su dominio es $\mathbb{R}$.

Por lo tanto, como funciones, $f\neq g$ debido a que sus dominios no son los mismos.

Tal vez tu confusión viene del hecho de que $$ \lim_{x\a-1}f(x)=\lim_{x\a-1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\lim_{x\a-1}(x-1)=\lim_{x\a-1}g(x) $$ Pero esto es cierto debido a que el límite de una función en $x\to-1$ es totalmente independiente del valor de la función en $-1$ $f(x)=g(x)$ por cada $x\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}$.

Answer 2

Considerar las tres funciones diferentes.

La primera función es la función que la función original. $$f:\mathbb{R} \setminus\{ -1\} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}$$

La segunda función es como sigue. $$g:\mathbb{R} \setminus\{ -1\} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$g(x)=x-1$$

En realidad, es la misma función como $f$. Que es bueno para cancelar los términos comunes de ambos, numerador y denominador., siempre y cuando usted sabe lo que está haciendo y mantener un registro de su dominio.

Ahora, la tercera función, que no es exactamente la misma función como $f$, pero está muy cerca, con un punto extra en el dominio. $$h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$h(x)=x-1$$

Creo que el libro no es muy clara, ya que no indica el dominio de las funciones de forma explícita, y miren la fórmula y tomar el mayor subconjunto de los números reales.

Tienes razón en que en la cancelación de términos comunes, el dominio no debe cambiar.

Answer 3

Simplemente, la primera ecuación es de dominio no incluye $-1$, mientras que la segunda ecuación.

Answer 4

Una función es no sólo una expresión. Es una asignación especial (una fórmula, una tabla, un diagrama, etc.), junto con un escogido de dominio y un elegido codominio. Las opciones deben tener sentido, sin embargo. Si el dominio es el mismo, el codominio es el mismo y $f(x)$ $g(x)$ coinciden por cada miembro de la $x$ de la de dominio, sólo entonces, podemos decir que las funciones son iguales.

Por ejemplo, supongamos $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x+1}$$g(x) = x-1$.

y vamos a elegir el dominio para el conjunto $\{1,2,3,4,...\}$ y permite elegir el codominio a ser la gama (que es $\{0,1,2,...\}$).

En este caso, $f$ $g$ son la misma función. Para cada miembro de la $N$ de la de dominio, $f(N)$ es igual a $g(N)$.

Si elegimos el dominio en lugar de ser $\mathbb R$, entonces nos topamos con un problema. $g$ es feliz con $-1$ que ahora pertenece al dominio, manos a la espalda $g(-1)=-2$. pero $f(-1)$ no tiene sentido, por lo que el dominio que elegimos para $f$ ni siquiera funciona. Estamos roto desde el principio. Ellos no pueden ser el mismo si la función de $f$ puede incluso no existir.

Ahora bien, si hemos de elegir el dominio para ser todo, excepto para la $-1$, a veces escrito $\mathbb R \setminus \{-1\}$, y para tener el codominio $\mathbb R$, $f$ $g$ son de nuevo la misma función.

Answer 5

La expresión $$\frac{x-1}{2x-2}$$ es una fracción algebraica, es decir, un cociente de polinomios (igual que el de costumbre fracciones son cocientes de números enteros).

Como una fracción algebraica, la expresión anterior es equivalente a $1/2$. Eso significa que la igualdad $$\frac{x-1}{2x-2}=\frac12$$ es cierto, porque la $(x-1)\cdot 2=(2x-2)\cdot 1$. Esto no depende del valor asignado a $x$. De hecho, esto no depende de si se asigna un valor a $x$ a todos.

Pero ya que la base de las propiedades de la suma y producto de polinomios y números son los mismos, es cierto que si las fracciones algebraicas $$\frac{P(x)}{Q(x)},\frac{R(x)}{S(x)}$$ son equivalentes, entonces, para la mayoría de los números de $a$ la igualdad entre los números $$\frac{P(a)}{Q(a)}=\frac{R(a)}{S(a)}$$ sostiene.

Pero la igualdad se produce un error si algunos de los denominadores $Q(a)$ o $S(a)$ es cero. No solo deja de ser cierto. No tienen sentido.

En otras palabras, la igualdad entre fracciones algebraicas $$\frac{x-1}{2x-2}=\frac12$$ implica que la igualdad entre los números $$\frac{a-1}{2a-2}=\frac12$$ es válido para cada número $a$ diferente de 1.